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地層と地球の歴史の問題

難易度 3共通テストレベル高校地学地層と地球の歴史

ある火成岩から、2 種類の鉱物 A, B を取り出した。これらの鉱物には、次の 3 種類の同位体が含まれている。

放射性同位体 P（半減期 $1.5 \times 1 0^{9}$ 年）
P が壊変してできる安定な同位体 D（P 1 個が壊変すると D が 1 個できる）
D と同じ元素の安定な同位体 S（壊変によってつくられることも、壊変することもない）

鉱物 A, B は同じマグマから同時に結晶した。D と S は同じ元素の同位体で化学的な性質が同じなので、結晶したときの D と S の個数比は鉱物 A と B で等しかった。ただし、その比の値はわかっていない。一方、P は D, S と別の元素なので、P と S の個数比は鉱物 A と B で異なっていた。結晶してから現在まで、どちらの鉱物でも P, D, S の出入りはなかったものとする。

現在の鉱物 A, B に含まれる各同位体の個数比を測定したところ、次の表のようになった。

鉱物	$\frac{P の個数}{S の個数}$	$\frac{D の個数}{S の個数}$
A	$0.50$	$0.80$
B	$2.00$	$1.70$

この火成岩ができた（鉱物 A, B が結晶した）のは現在から何億年前か。整数で答えよ。必要ならば $lo g_{10} 2 = 0.30$ を用いよ。

この問題で使うもの

初めから含まれる娘核種の補正とアイソクロン（説明と入口の問題）
対数を使った放射年代の計算（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

結晶したときの D の量がわからないので、D と S の比が鉱物 A, B で等しいことを使い、2 つの鉱物の式を連立させて未知数を消すことを考えよう。

ヒント 2

現在の P の個数を $N_{P}$ とすると、結晶時の P は $N_{P} \cdot 2^{t / T}$ 個であり、増えた D は $N_{P} (2^{t / T} - 1)$ 個である。これを S の個数で割った式 $\frac{N _{D}}{N _{S}} = r + \frac{N _{P}}{N _{S}} (2^{t / T} - 1)$ を A, B それぞれについて立てよう。

ヒント 3

A と B の式を引き算すると $0.90 = 1.50 (2^{t / T} - 1)$ となるので、 $2^{t / T} = 1.6$ である。あとは常用対数をとり、 $lo g_{10} 1.6 = 4 lo g_{10} 2 - 1$ を使って $t / T$ を求めよう。

答えと解説

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10

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解説を読む

鉱物が結晶してから現在までの時間を $t$ 年、P の半減期を $T = 1.5 \times 1 0^{9}$ 年とする。

現在の個数と結晶時の個数の関係

ある鉱物に現在含まれる P, D, S の個数を $N_{P}, N_{D}, N_{S}$ とする。P の個数は半減期 $T$ ごとに $\frac{1}{2}$ になるので、結晶したときの P の個数を $N_{P 0}$ とすると
$N_{P} = N_{P 0} (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}} すなわち N_{P 0} = N_{P} \cdot 2^{\frac{t}{T}}$
である。P 1 個の壊変で D が 1 個できるので、結晶後に増えた D の個数は壊変した P の個数に等しく
$N_{P 0} - N_{P} = N_{P} (2^{\frac{t}{T}} - 1)$
である。結晶したときの D の個数を $N_{D 0}$ とすると
$N_{D} = N_{D 0} + N_{P} (2^{\frac{t}{T}} - 1)$
S は増えも減りもしない（出入りもない）ので、両辺を $N_{S}$ で割ると
$\frac{N _{D}}{N _{S}} = \frac{N _{D 0}}{N _{S}} + \frac{N _{P}}{N _{S}} (2^{\frac{t}{T}} - 1) (1)$
ここで $\frac{N _{D 0}}{N _{S}}$ は結晶したときの D と S の個数比で、鉱物 A, B で等しい。この値を $r$ 、 $k = 2^{\frac{t}{T}} - 1$ とおく。

表の値を代入する

$(1)$ に鉱物 A, B の値を代入すると
$A : 0.80 = r + 0.50 k (2)$
$B : 1.70 = r + 2.00 k (3)$
$(3) - (2)$ より、未知の $r$ が消えて
$0.90 = 1.50 k よって k = 0.60$
（このとき $(2)$ より $r = 0.80 - 0.50 \times 0.60 = 0.50$ であり、 $(3)$ も $0.50 + 2.00 \times 0.60 = 1.70$ となって成り立つ。）

年代を求める

$2^{\frac{t}{T}} = 1 + k = 1.6$
両辺の常用対数をとると
$\frac{t}{T} lo g_{10} 2 = lo g_{10} 1.6$
ここで
$lo g_{10} 1.6 = lo g_{10} \frac{16}{10} = 4 lo g_{10} 2 - 1 = 4 \times 0.30 - 1 = 0.20$
なので
$\frac{t}{T} = \frac{0.20}{0.30} = \frac{2}{3}$
よって
$t = \frac{2}{3} \times 1.5 \times 1 0^{9} = 1.0 \times 1 0^{9} 年$
これは $10$ 億年である。

したがって、この火成岩ができたのは $10$ 億年前である。

別解

結晶時の D と S の個数比を $r_{0}$ とする。現在の P, D の個数を $P, D$ 、結晶時の P の個数を $P_{0}$ とすると、 $P = P_{0} (\frac{1}{2})^{t / T}$ で、 $T = 1.5 \times 1 0^{9}$ 年である。壊変した P は D になるので
$D = D_{0} + (P_{0} - P) = D_{0} + P (2^{t / T} - 1)$
両辺を S の個数で割ると
$\frac{D}{S} = r_{0} + \frac{P}{S} (2^{t / T} - 1)$
これは $\frac{P}{S}$ と $\frac{D}{S}$ の一次式で、傾きが $2^{t / T} - 1$ になる（アイソクロン法）。
鉱物 A, B のデータから傾きを求める。
傾き $= \frac{1.70 - 0.80}{2.00 - 0.50} = \frac{0.90}{1.50} = 0.60$
よって $2^{t / T} = 1.6$ 。
両辺の常用対数をとると
$\frac{t}{T} lo g_{10} 2 = lo g_{10} 1.6 = 4 lo g_{10} 2 - 1 = 1.20 - 1 = 0.20$
$\frac{t}{T} = \frac{0.20}{0.30} = \frac{2}{3}$
$t = \frac{2}{3} \times 1.5 \times 1 0^{9} = 1.0 \times 1 0^{9}$ 年 $= 10$ 億年前。
検算：初期比は $r_{0} = 0.80 - 0.50 \times 0.60 = 0.50$ と $1.70 - 2.00 \times 0.60 = 0.50$ で、A と B で一致する。

鉱物	P/S	D/S
X	2.0	6.5
Y	4.0	12.5

海底面からの深さ	空隙率
$0 m$ 〜 $8.0 m$	$0.80$
$8.0 m$ 〜 $20.0 m$	$0.70$
$20.0 m$ 〜 $50.0 m$	$0.60$
$50.0 m$ 〜 $90.0 m$	$0.50$

砂岩層 1 枚の厚さ	層の数
$0.50 m$	$18$
$1.00 m$	$12$
$1.50 m$	$6$

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