地層と地球の歴史の問題

ある火成岩から、2 種類の鉱物 A, B を取り出した。これらの鉱物には、次の 3 種類の同位体が含まれている。

• 放射性同位体 P（半減期 $1.5\times 10^9$ 年）
• P が壊変してできる安定な同位体 D（P 1 個が壊変すると D が 1 個できる）
• D と同じ元素の安定な同位体 S（壊変によってつくられることも、壊変することもない）

鉱物 A, B は同じマグマから同時に結晶した。D と S は同じ元素の同位体で化学的な性質が同じなので、結晶したときの D と S の個数比は鉱物 A と B で等しかった。ただし、その比の値はわかっていない。一方、P は D, S と別の元素なので、P と S の個数比は鉱物 A と B で異なっていた。結晶してから現在まで、どちらの鉱物でも P, D, S の出入りはなかったものとする。

現在の鉱物 A, B に含まれる各同位体の個数比を測定したところ、次の表のようになった。

この火成岩ができた（鉱物 A, B が結晶した）のは現在から何億年前か。整数で答えよ。必要ならば ${\log }_{10}2=0.30$ を用いよ。

ある遺跡の地層から木炭が見つかった。木炭に含まれる炭素 $1\text{g}$ あたりの ${}^{14}\text{C}$ の壊変数を測定すると、$1$ 分間に $3.0$ 回であった。一方、現在生きている植物の炭素 $1\text{g}$ あたりの ${}^{14}\text{C}$ の壊変数は、$1$ 分間に $15.0$ 回である。

${}^{14}\text{C}$ の半減期を $5.7\times 10^3$ 年とし、次のことを仮定する。

• 木炭のもとになった木が生きていた当時の、炭素 $1\text{g}$ あたりの ${}^{14}\text{C}$ の量は、現在生きている植物と同じである。
• 木が枯れたあとは、外部との炭素の出入りはない。
• $1$ 分間あたりの壊変数は、そのとき含まれている ${}^{14}\text{C}$ の原子の数に比例する。

この木が枯れたのは今から何年前か。${\log }_{10}2=0.30$ を用いて、有効数字 $2$ 桁で求めよ。

ある火成岩に含まれる鉱物を調べたところ、放射性同位体のウラン 235（親核種）と、それが崩壊してできた鉛 207（娘核種）が含まれており、その個数の比は

$$\text{鉛 207}:\text{ウラン 235}=7:1$$

であった。ウラン 235 の半減期を 7.0 億年とする。また、この鉱物ができたときには鉛 207 は含まれておらず、その後に鉛 207 はすべてウラン 235 の崩壊によってでき、鉱物から出入りしなかったものとする。

この火成岩ができたのは何億年前か。整数で答えよ。

ある海岸の露頭で、砂岩層と泥岩層が交互に重なる地層（砂岩泥岩互層）が観察された。この互層は全体の厚さが $54.0\text{m}$ で、砂岩層と泥岩層だけからなる。砂岩層の厚さと層の数を調べた結果は次の表のとおりである。

調査から、次のことがわかっている。

• 砂岩層はすべて混濁流（乱泥流）によって堆積したタービダイトであり、1 枚ごとの堆積にかかった時間は、互層全体の堆積にかかった時間に比べて無視できるほど短い。
• 泥岩層のもとになった泥は、海底に一定の速さで絶え間なく降り積もった。堆積したばかりの（押し固められる前の）泥の厚さで表した堆積速度は $0.16\text{mm/年}$ である。
• 泥は堆積したときの間隙率（体積に占めるすき間の割合）が $70\%$ であったが、続成作用によって押し固められ、現在の泥岩の間隙率は $10\%$ である。押し固められるとき、地層は鉛直方向にだけ縮み、泥の粒子そのものの体積は変わらない。
• この互層の堆積中に、侵食や堆積の中断はなかった。

この砂岩泥岩互層全体が堆積するのにかかった時間は何万年か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

ある深海底で、海底面から鉛直下向きに長さ $90.0\text{m}$ の堆積物の柱状試料（コア）を採取した。堆積物は細粒の泥でできており、粒子のすきま（空隙）は海水で満たされている。各深さの区間での、現在の空隙率（堆積物の体積のうち空隙が占める割合）は次の表のとおりで、各区間の中では空隙率は一定とみなせる。

このコアについて、次のことがわかっている。

• 深さ $20.0\text{m}$ には厚さの無視できる火山灰層があり、その火山灰が堆積したのは $260$ 万年前である。
• 深さ $32.0\text{m}$ 〜 $38.0\text{m}$ の部分は、1 回の混濁流によって一度に堆積したタービダイトである。この部分の空隙率も $0.60$ である。
• タービダイト以外の泥は、海底に降り積もる粒子によって堆積したもので、海底の単位面積あたりに 1 年間に積もる固体粒子の体積は、過去から現在まで一定である。堆積は現在も続いており、堆積の中断や侵食はない。
• 堆積物は埋没すると上からの重みで鉛直方向にだけ押し縮められ（圧密）、空隙の体積は減るが、固体粒子の体積は変わらない。

タービダイトが堆積するのにかかった時間は無視できるものとして、コアの最下部（深さ $90.0\text{m}$）の泥が堆積したのは何万年前か。整数で答えよ。