初めから含まれる娘核種の補正とアイソクロン

結晶したときに娘核種が含まれていた場合に、その量を差し引いて年代を求めたり、同時にできた複数の鉱物の P/S と D/S の比（アイソクロンの傾き）から年代を求めたりできる

前提

対数を使った放射年代の計算（高校地学地層と地球の歴史）
直線の方程式（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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説明

これまでの放射年代の計算では、鉱物ができたときに娘核種はまったく含まれていなかったと仮定しました。しかし実際の岩石では、結晶ができたときにすでに娘核種と同じ原子核が取り込まれていることが多く、そのまま計算すると年代を古く見積もってしまいます。この技能では、初めから含まれていた娘核種の量を差し引いて年代を求める方法と、同じときにできた複数の鉱物の測定値を直線（アイソクロン）にのせ、その傾きから年代を求める方法を学びます。ルビジウム–ストロンチウム法などで岩石の年代を決めるときに使う考え方です。

なぜそうしてよいのか

現在の親核種の数を $P$ 、娘核種の数を $D$ 、結晶したときに初めから含まれていた娘核種の数を $D_{0}$ とします。結晶したときの親核種の数を $P_{0}$ とすると、 $P = P_{0} (\frac{1}{2})^{t / T}$ より $P_{0} = P \cdot 2^{t / T}$ です。崩壊した親核種はすべて娘核種になるので、崩壊でできた娘核種は $P_{0} - P = P (2^{t / T} - 1)$ 個で、 $D = D_{0} + P (2^{t / T} - 1)$ となります。 $D_{0}$ が分かれば、 $D - D_{0}$ を「崩壊でできた娘核種」として、残っている割合 $r = \frac{P}{P + ( D - D _{0} )}$ から $t = T lo g_{1/2} r$ で年代が求まります。

ところが $D_{0}$ は直接は測れません。そこで、娘核種と同じ元素で、放射性崩壊ではつくられず数が変わらない別の同位体 $S$ を基準にとり、上の式の両辺を $S$ で割ります。 $\frac{D}{S} = \frac{D _{0}}{S} + (2^{t / T} - 1) \frac{P}{S}$ 同じマグマから同時に結晶した鉱物どうしは、同じ元素の同位体の割合が同じなので、結晶したときの $\frac{D _{0}}{S}$ はどの鉱物でも等しくなります。一方、親核種の取り込みやすさは鉱物ごとに違うので $\frac{P}{S}$ は鉱物ごとに違います。したがって、横軸に $x = \frac{P}{S}$ 、縦軸に $y = \frac{D}{S}$ をとって各鉱物の測定値を点で表すと、すべての点が 1 本の直線 $y = \frac{D _{0}}{S} + m x$ の上にのります。この直線をアイソクロン（等時線）といいます。

この直線の傾きは $m = 2^{t / T} - 1$ なので、2 点から傾きを求めれば $2^{t / T} = 1 + m$ 、つまり $t = T lo g_{2} (1 + m) = T \times \frac{lo g _{10} ( 1 + m )}{lo g _{10} 2}$ と年代が決まります。 $D_{0} / S$ （切片）が分からなくても傾きだけで年代が求まるのが、この方法のよいところです。なお、これは $r = \frac{1}{1 + m}$ として $t = T lo g_{1/2} r$ を使ったのと同じ式です。

手順

初めから含まれていた娘核種の量 $D_{0}$ が分かっている場合は、崩壊でできた娘核種を $D - D_{0}$ として、 $r = \frac{P}{P + ( D - D _{0} )}$ から $t = T lo g_{1/2} r$ で年代を求める
$D_{0}$ が分からず複数の鉱物の測定値がある場合は、各鉱物を点 $(\frac{P}{S}, \frac{D}{S})$ で表す
2 点からアイソクロンの傾き $m = \frac{Δ ( D / S )}{Δ ( P / S )}$ を求める（3 点以上あれば、同じ直線上にあることを確かめる）
$2^{t / T} = 1 + m$ から $t = T \times \frac{lo g _{10} ( 1 + m )}{lo g _{10} 2}$ を計算し、指示どおり丸める

例題

ある花こう岩から、同じときに結晶した 3 種類の鉱物を取り出し、親核種 $^{87} Rb$ の数 $P$ 、娘核種 $^{87} Sr$ の数 $D$ 、崩壊ではつくられない $^{86} Sr$ の数 $S$ の比を測ったところ、次の表のようになった。

鉱物	$P / S$	$D / S$
鉱物 1	0.50	0.7100
鉱物 2	1.00	0.7200
鉱物 3	2.00	0.7400

$^{87} Rb$ の半減期を 490 億年とし、結晶してから各鉱物で Rb と Sr の出入りはなかったものとする。この花こう岩が結晶したのは何億年前か。 $lo g_{10} 2 = 0.30$ 、 $lo g_{10} 1.02 = 0.0086$ として、整数で答えよ。

例題の解答

手順 1: 結晶したときに含まれていた $^{87} Sr$ の量は分からないので、アイソクロンを使う。

手順 2: 各鉱物を点 $(P / S, D / S)$ で表すと $(0.50, 0.7100)$ 、 $(1.00, 0.7200)$ 、 $(2.00, 0.7400)$ 。

手順 3: 鉱物 1 と鉱物 3 から傾きは $m = \frac{0.7400 - 0.7100}{2.00 - 0.50} = \frac{0.0300}{1.50} = 0.020$ 鉱物 1 と鉱物 2 からも $\frac{0.0100}{0.50} = 0.020$ で、3 点は同じ直線上にある。

手順 4: $2^{t / T} = 1.02$ より $t = 490 \times \frac{lo g _{10} 1.02}{lo g _{10} 2} = 490 \times \frac{0.0086}{0.30} = 14.04 \dots 億年$ 整数で 14 億年前。

答え: $14$

よくある誤り

1 つの鉱物の $D / S$ と $P / S$ の比をそのまま娘/親の比として使ってしまう誤り。鉱物 3 で $\frac{D}{P} = \frac{0.7400}{2.00} = 0.37$ として年代を出すのは誤りで、 $D$ には初めから含まれていた娘核種も入っているので、正しくはアイソクロンの傾き $m = 0.020$ を使う
傾きを $\frac{P}{S}$ と $\frac{D}{S}$ を逆にして求めてしまう誤り。 $\frac{2.00 - 0.50}{0.7400 - 0.7100} = 50$ とするのは誤りで、正しくは横軸 $P / S$ 、縦軸 $D / S$ として $m = \frac{Δ ( D / S )}{Δ ( P / S )} = 0.020$
傾き $m$ そのものを $2^{t / T}$ としてしまう誤り。 $2^{t / T} = 0.020$ とすると $t < 0$ になる。崩壊でできた娘核種は $P (2^{t / T} - 1)$ なので、正しくは $2^{t / T} = 1 + m = 1.02$
切片 $\frac{D _{0}}{S}$ （この例では $0.70$ ）から年代を求めようとしてしまう誤り。切片は結晶したときの同位体の割合を表し、年代は傾きだけで決まる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
放射性同位体 P（親核種）は半減期 10 億年で壊変して、娘核種 D になる。また、D と同じ元素で放射性ではない同位体 S があり、S の数は時間がたっても変わらない。
ある岩石の中で、同時に結晶した 2 種類の鉱物 X, Y について、現在の P, D の個数を S の個数に対する比で表すと、次の表のとおりであった。
鉱物 P/S D/S
X 2.0 6.5
Y 4.0 12.5
2 つの鉱物は結晶したときに同じ D/S の値をもっていた（D が初めから含まれていた）。また、結晶した後は P, D, S のどれも鉱物から出入りせず、D は P の壊変によってだけ増えたものとする。
この岩石が結晶したのは何億年前か。整数で答えよ。

鉱物	$\frac{P の個数}{S の個数}$	$\frac{D の個数}{S の個数}$
A	$0.50$	$0.80$
B	$2.00$	$1.70$

鉱物	P/S	D/S
X	2.0	6.5
Y	4.0	12.5

初めから含まれる娘核種の補正とアイソクロン

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題