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原子の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理原子

ラジウムの原子核 $_{88}^{226} Ra$ は、 $α$ 崩壊と $β$ 崩壊（ $β^{-}$ 崩壊）を何回かくり返して、鉛の原子核 $_{82}^{206} Pb$ になる。この間に起こる $β$ 崩壊の回数を求めよ。ただし、崩壊は $α$ 崩壊と $β$ 崩壊の 2 種類だけとする。

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント 1

「原子核の構成と放射性崩壊」の技能を使う。 $α$ 崩壊と $β$ 崩壊で、質量数と原子番号がそれぞれどう変わるかを整理しよう。

ヒント 2

$α$ 崩壊 1 回で質量数 $- 4$ 、原子番号 $- 2$ 。 $β$ 崩壊 1 回で質量数は変わらず、原子番号 $+ 1$ 。質量数を変えるのは $α$ 崩壊だけなので、まず $α$ 崩壊の回数が決まる。

ヒント 3

質量数は $226 - 206 = 20$ 減っているので、 $α$ 崩壊は $20 \div 4 = 5$ 回。このとき原子番号は $88 - 10 = 78$ になる。ここから $82$ になるには何回 $β$ 崩壊が必要か考えよう。

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解説を読む

$_{Z}^{A} X$ の左上の数 $A$ は質量数（陽子数と中性子数の和）、左下の数 $Z$ は原子番号（陽子数）を表す。

崩壊による変化
- $α$ 崩壊 1 回: ヘリウム原子核 $_{2}^{4} He$ が出るので、 $A$ が $4$ 、 $Z$ が $2$ 減る。
- $β$ 崩壊 1 回: 中性子 1 個が陽子に変わり電子が出るので、 $A$ は変わらず、 $Z$ が $1$ 増える。

手順1: 質量数の変化から $α$ 崩壊の回数を求める

質量数を変えるのは $α$ 崩壊だけである。 $α$ 崩壊の回数を $x$ 回とすると
$226 - 4 x = 206$
$4 x = 20 より x = 5$

手順2: 原子番号の変化から $β$ 崩壊の回数を求める

$β$ 崩壊の回数を $y$ 回とする。 $α$ 崩壊 5 回で原子番号は $2 \times 5 = 10$ 減り、 $β$ 崩壊 $y$ 回で $y$ 増えるので
$88 - 2 \times 5 + y = 82$
$78 + y = 82 より y = 4$

よって、 $β$ 崩壊の回数は $4$ 回である。

別解

α崩壊の回数を $a$ 、β崩壊の回数を $b$ とする。α崩壊では質量数が4、原子番号が2減る。β⁻崩壊では質量数は変わらず、原子番号が1増える。

質量数について、 $226 - 4 a = 206$ より $a = 5$ 。

原子番号について、 $88 - 2 a + b = 82$ より $88 - 10 + b = 82$ となり、 $b = 4$ 。

検算： $_{88}^{226} Ra$ から α崩壊を5回行うと $_{78}^{206}$ となる。ここから β崩壊を4回行うと原子番号は $78 + 4 = 82$ となり、質量数206のまま $_{82}^{206} Pb$ になる。これは問題の条件と一致する。

よって β崩壊は4回。