導波管のモードと遮断周波数

完全導体の境界条件から長方形導波管の $TE_{mn}$ ・ $TM_{mn}$ モードの分散関係 $ω^{2} = c^{2} (k_{z}^{2} + (\frac{mπ}{a})^{2} + (\frac{nπ}{b})^{2})$ を使い、伝搬できるモードの数や遮断周波数・群速度を求められる

前提

真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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ベクトル解析の恒等式と積の公式（大学数学ベクトル解析）
真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
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関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）

説明

導波管は、断面が長方形などの中空の金属の管で、マイクロ波をその中に閉じ込めて管の向き（ $z$ 方向）に送ります。壁が完全導体であるという条件のために、管の中の電磁波は断面方向に定在波をつくる決まった形（モード）しかとれず、各モードには $ω^{2} = c^{2} (k_{z}^{2} + (\frac{mπ}{a})^{2} + (\frac{nπ}{b})^{2})$ という分散関係が成り立ちます。この技能では、これを使って、各モードが伝わるための最低の角振動数（遮断角振動数）や、与えられた周波数で伝わるモードの数、エネルギーが進む速さ（群速度）を求めます。

なぜそうしてよいのか

断面が $0 \leq x \leq a$ 、 $0 \leq y \leq b$ （ $a \geq b$ ）の長方形で、中は真空とします。 $z$ 方向に進む角振動数 $ω$ の波を考え、計算を簡単にするため場を複素数で $E = E_{0} (x, y) e^{i (k_{z} z - ω t)}$ 、 $B = B_{0} (x, y) e^{i (k_{z} z - ω t)}$ と書きます（実際の場はその実部。オイラーの公式で $cos$ と $sin$ に戻せます）。このとき $\frac{\partial}{\partial z} \to i k_{z}$ 、 $\frac{\partial}{\partial t} \to - iω$ と置き換えられます。

まず、横成分（ $x, y$ 成分）は縦成分 $E_{z}, B_{z}$ だけで決まることを確かめます。マクスウェル方程式 $\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ 、 $\nabla \times B = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial E}{\partial t}$ の $x, y$ 成分は
$\partial_{y} E_{z} - i k_{z} E_{y} = iω B_{x}, i k_{z} E_{x} - \partial_{x} E_{z} = iω B_{y}, \partial_{y} B_{z} - i k_{z} B_{y} = - \frac{iω}{c ^{2}} E_{x}, i k_{z} B_{x} - \partial_{x} B_{z} = - \frac{iω}{c ^{2}} E_{y}$
です。これを $E_{x}, E_{y}, B_{x}, B_{y}$ についての連立 1 次方程式として解くと、 $k_{⊥}^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} - k_{z}^{2} (\neq = 0)$ として
$E_{x} = \frac{i}{k _{⊥}^{2}} (k_{z} \partial_{x} E_{z} + ω \partial_{y} B_{z}), E_{y} = \frac{i}{k _{⊥}^{2}} (k_{z} \partial_{y} E_{z} - ω \partial_{x} B_{z}),$
$B_{x} = \frac{i}{k _{⊥}^{2}} (k_{z} \partial_{x} B_{z} - \frac{ω}{c ^{2}} \partial_{y} E_{z}), B_{y} = \frac{i}{k _{⊥}^{2}} (k_{z} \partial_{y} B_{z} + \frac{ω}{c ^{2}} \partial_{x} E_{z})$
となります（たとえば 2 番目の式から $B_{y}$ を $E_{x}$ で表し 3 番目に代入すると $E_{x}$ の式が出ます）。式は $E_{z}, B_{z}$ について 1 次なので、どんな解も「 $E_{z} = 0$ で $B_{z}$ だけをもつ解（TE モード）」と「 $B_{z} = 0$ で $E_{z}$ だけをもつ解（TM モード）」の和に分けられ、それぞれ $B_{z}$ または $E_{z}$ 1 つを求めれば全成分が決まります。

そこで縦成分 $ψ = E_{z}$ または $B_{z}$ だけを対象に、 $ψ = X (x) Y (y) e^{i (k_{z} z - ω t)}$ の形の解をさがします（横成分は上の式から $ψ$ の微分に $i$ などが掛かった形になり、同じ形とは限りません）。 $ψ$ は波動方程式 $\nabla^{2} ψ = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial t ^{2}}$ をみたすので、代入して $X Y e^{i (\dots)}$ で割ると
$\frac{X ^{''}}{X} + \frac{Y ^{''}}{Y} - k_{z}^{2} = - \frac{ω ^{2}}{c ^{2}}$
です。 $\frac{X ^{''}}{X}$ は $x$ だけ、 $\frac{Y ^{''}}{Y}$ は $y$ だけの関数なので、それぞれ定数で $X^{''} + k_{x}^{2} X = 0$ 、 $Y^{''} + k_{y}^{2} Y = 0$ と書け、 $ω^{2} = c^{2} (k_{z}^{2} + k_{x}^{2} + k_{y}^{2})$ （ $k_{⊥}^{2} = k_{x}^{2} + k_{y}^{2}$ ）です。

$k_{x}, k_{y}$ を決めるのが壁の境界条件で、完全導体の表面では電場の接線成分と磁場の法線成分が $0$ です。TM モードでは $E_{z}$ はどの壁にも接する成分なので $X (0) = X (a) = 0$ 、 $Y (0) = Y (b) = 0$ 。境界値問題 $X^{''} + k_{x}^{2} X = 0$ 、 $X (0) = X (a) = 0$ の $0$ でない解は $X = sin \frac{mπ x}{a}$ 、 $k_{x} = \frac{mπ}{a}$ （ $m = 1, 2, \dots$ ）に限られ、 $y$ も同様に $k_{y} = \frac{nπ}{b}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）です。TE モード（ $E_{z} = 0$ ）では、 $x = 0, a$ の壁で接線成分 $E_{y} = - \frac{iω}{k _{⊥}^{2}} \partial_{x} B_{z}$ と法線成分 $B_{x} = \frac{i k _{z}}{k _{⊥}^{2}} \partial_{x} B_{z}$ が $0$ なので $\partial_{x} B_{z} = 0$ 、つまり $X^{'} (0) = X^{'} (a) = 0$ です（ $y = 0, b$ の壁でも同様に $Y^{'} (0) = Y^{'} (b) = 0$ ）。この条件の解は $X = cos \frac{mπ x}{a}$ で $m = 0, 1, 2, \dots$ が許されます。ただし $m = n = 0$ では $B_{z}$ が定数で $k_{⊥} = 0$ となり、横成分を決める上の式が使えず、管の中を進む波にはならないので除きます。こうして TE $_{mn}$ （ $m, n \geq 0$ 、両方 $0$ は除く）と TM $_{mn}$ （ $m, n \geq 1$ ）のどちらも同じ分散関係
$ω^{2} = c^{2} (k_{z}^{2} + (\frac{mπ}{a})^{2} + (\frac{nπ}{b})^{2})$
に従います。

波として $z$ 方向に進むには $k_{z}$ が実数、つまり $k_{z}^{2} > 0$ でなければなりません。そのためには $ω$ が遮断角振動数 $ω_{mn} = c π (\frac{m}{a})^{2} + (\frac{n}{b})^{2}$ より大きい必要があり、それ以下では $k_{z}$ が虚数になって場は $z$ 方向に指数関数的に減衰します。エネルギー（波束）の進む速さは群速度 $v_{g} = \frac{d ω}{d k _{z}}$ で、分散関係を $k_{z}$ で微分すると $2 ω \frac{d ω}{d k _{z}} = 2 c^{2} k_{z}$ より $v_{g} = \frac{c ^{2} k _{z}}{ω} = c 1 - (\frac{ω _{mn}}{ω})^{2}$ で、常に $c$ より小さくなります。

手順

導波管の断面の辺 $a, b$ と、考えるモード（TE か TM か、 $m, n$ ）を確かめる。TE は $m, n \geq 0$ （両方 $0$ は除く）、TM は $m, n \geq 1$
遮断角振動数 $ω_{mn} = c π (\frac{m}{a})^{2} + (\frac{n}{b})^{2}$ （遮断周波数は $f_{mn} = \frac{ω _{mn}}{2 π} = \frac{c}{2} (\frac{m}{a})^{2} + (\frac{n}{b})^{2}$ ）を計算する
与えられた $ω$ と比べ、 $ω > ω_{mn}$ なら伝搬し、 $ω \leq ω_{mn}$ なら伝搬しないと判定する。モードの数を問われたら、条件をみたす TE・TM の $(m, n)$ をすべて数える
伝搬するモードについて、 $k_{z} = \frac{1}{c} ω^{2} - ω_{mn}^{2}$ を求める
群速度 $v_{g} = \frac{c ^{2} k _{z}}{ω} = c 1 - (\frac{ω _{mn}}{ω})^{2}$ を計算する

例題

断面が $a \times b$ （ $a > b$ ）の長方形で、中が真空の完全導体の導波管がある。真空中の光速を $c$ とする。 $TE_{10}$ モードの電磁波を角振動数 $ω = \frac{2 π c}{a}$ で送るとき、このモードの群速度 $v_{g}$ を $c$ で表せ。

例題の解答

【手順 1】 $TE_{10}$ モードなので $m = 1, n = 0$ （TE では $n = 0$ が許される）。

【手順 2】遮断角振動数は
$ω_{10} = c π (\frac{1}{a})^{2} + 0 = \frac{π c}{a}$

【手順 3】 $ω = \frac{2 π c}{a} = 2 ω_{10} > ω_{10}$ なので、このモードは伝搬する。

【手順 4】 $k_{z} = \frac{1}{c} ω^{2} - ω_{10}^{2} = \frac{1}{c} 4 ω_{10}^{2} - ω_{10}^{2} = \frac{3 ω _{10}}{c} = \frac{3 π}{a}$

【手順 5】
$v_{g} = \frac{c ^{2} k _{z}}{ω} = \frac{c ^{2} \cdot 3 π / a}{2 π c / a} = \frac{3}{2} c$
（ $c 1 - (ω_{10} / ω)^{2} = c 1 - \frac{1}{4}$ でも同じ。）

答え: $\frac{3}{2} c$

よくある誤り

TM モードにも $m = 0$ や $n = 0$ を許し、 $TM_{10}$ や $TM_{01}$ を数えてしまう誤り。TM モードでは $E_{z} \propto sin \frac{mπ x}{a} sin \frac{nπ y}{b}$ なので $m = 0$ または $n = 0$ だと場が $0$ になる。TM は $m, n \geq 1$ 、TE は $m, n \geq 0$ （両方 $0$ は除く）
遮断周波数を $f_{mn} = c (\frac{m}{a})^{2} + (\frac{n}{b})^{2}$ としてしまう誤り。 $ω_{mn} = c π (\frac{m}{a})^{2} + (\frac{n}{b})^{2}$ を $2 π$ で割って、正しくは $f_{mn} = \frac{c}{2} (\frac{m}{a})^{2} + (\frac{n}{b})^{2}$ （ $TE_{10}$ なら $f_{10} = \frac{c}{2 a}$ ）
群速度を位相速度 $\frac{ω}{k _{z}}$ と同じものとしてしまう誤り。位相速度は $\frac{ω}{k _{z}} = \frac{c}{1 - ( ω _{mn} / ω ) ^{2}} > c$ で、エネルギーの進む速さは群速度 $v_{g} = \frac{d ω}{d k _{z}} = c 1 - (ω_{mn} / ω)^{2} < c$ 。両者の積が $c^{2}$ になる
$ω < ω_{mn}$ でも $k_{z}$ を形式的に計算してそのモードが伝わるとしてしまう誤り。このとき $k_{z}^{2} = \frac{ω ^{2} - ω _{mn}^{2}}{c ^{2}} < 0$ で $k_{z}$ は虚数になり、場は $z$ 方向に指数関数的に減衰して伝搬しない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
内部が真空の長方形導波管があり、断面の内寸は $a = 2.0 cm$ （ $x$ 方向）、 $b = 1.0 cm$ （ $y$ 方向）で、管は $z$ 方向にのびている。管壁は完全導体とみなす。真空中の光速を $c = 3.0 \times 1 0^{8} m/s$ とする。
この導波管の $TE_{mn}$ モードの分散関係は
$ω^{2} = c^{2} (k_{z}^{2} + (\frac{mπ}{a})^{2} + (\frac{nπ}{b})^{2})$
で与えられる（ $ω$ は角振動数、 $k_{z}$ は管軸方向の波数）。 $TE_{10}$ モード（ $m = 1$ , $n = 0$ ）の遮断周波数は何 $GHz$ か。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

空洞共振器のモードと共振振動数（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））