空洞共振器のモードと共振振動数

直方体空洞の共振振動数 $f_{mn p} = \frac{c}{2} (m / a)^{2} + (n / b)^{2} + (p / d)^{2}$ を求め、TE・TM の別と添字が 0 になれる条件に注意して、ある振動数より低いモードの数を数えられる

前提

導波管のモードと遮断周波数（大学物理電磁波と電磁場）

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算数中学高校大学大学院

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境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
導波管のモードと遮断周波数（大学物理電磁波と電磁場）

説明

完全導体の壁で囲まれた直方体の空洞（辺 $a, b, d$ 、内部は真空）には、決まったとびとびの振動数の電磁場しか定常的に存在できません。その振動数は $f_{mn p} = \frac{c}{2} (\frac{m}{a})^{2} + (\frac{n}{b})^{2} + (\frac{p}{d})^{2}$ で与えられ、各 $(m, n, p)$ には $TE_{mn p}$ と $TM_{mn p}$ の 2 種類のモードがありえます。この技能では、添字が 0 になれる条件に注意して、ある振動数より低いモードを漏れなく重複なく数えます。マイクロ波共振器の設計や、空洞放射（黒体放射）のモード数の数え方の基礎になります。

なぜそうしてよいのか

直方体空洞は、断面 $a \times b$ の長方形導波管（ $z$ 方向）の両端 $z = 0, z = d$ を導体板でふさいだものと見られます。導波管の中を $+ z$ と $- z$ に進む波を重ねると定在波になり、端の板での境界条件（電場の接線成分と磁場の法線成分が 0）を満たすには $z$ 方向の依存が $sin \frac{p π z}{d}$ か $cos \frac{p π z}{d}$ でなければなりません。つまり $k_{z} = \frac{p π}{d}$ （ $p$ は 0 以上の整数）です。これを導波管の分散関係 $ω^{2} = c^{2} (k_{z}^{2} + (\frac{mπ}{a})^{2} + (\frac{nπ}{b})^{2})$ に入れ、 $f = \frac{ω}{2 π}$ とすると共振振動数の式になります。

添字の条件は、どの成分が端の板で 0 になるべきかで決まります。 $TE$ （ $z$ 方向に対して $E_{z} = 0$ ）では $H_{z} \propto cos \frac{mπ x}{a} cos \frac{nπ y}{b} sin \frac{p π z}{d}$ で、 $H_{z}$ は板 $z = 0, d$ に垂直なので $sin$ になり、 $p \geq 1$ が必要です。また導波管の $TE$ と同じく $m, n$ は同時に 0 になれません。 $TM$ （ $H_{z} = 0$ ）では $E_{z} \propto sin \frac{mπ x}{a} sin \frac{nπ y}{b} cos \frac{p π z}{d}$ で、側面で $E_{z}$ が 0 になるため $m, n \geq 1$ 、一方 $p = 0$ は許されます（ $z$ 方向に一様な場）。

まとめると、 $(m, n, p)$ のうち 0 が 2 つ以上あると場が恒等的に 0 でモードはありません。0 がちょうど 1 つならモードは 1 つ（ $p = 0$ なら $TM_{mn 0}$ 、 $m = 0$ か $n = 0$ なら $TE$ ）、0 がなければ $TE_{mn p}$ と $TM_{mn p}$ の 2 つです。これは「電磁波の偏りの向きは進む向きに垂直な 2 つ」ということを、定在波で表したものと考えられます。どの軸を $z$ に選んでも数え方の結果は変わりません。

手順

共振振動数を $f_{mn p} = \frac{c}{2} (m / a)^{2} + (n / b)^{2} + (p / d)^{2}$ と書き、与えられた振動数の条件 $f < f_{0}$ を $m, n, p$ の 2 次式の不等式（例: $(m / a)^{2} + (n / b)^{2} + (p / d)^{2} < (2 f_{0} / c)^{2}$ ）に直す
0 以上の整数の組 $(m, n, p)$ のうち不等式を満たすものを、0 の個数で場合分けして列挙する
0 が 2 つ以上の組は捨てる（場が恒等的に 0）
0 がちょうど 1 つの組は 1 モード（ $p = 0$ なら $TM_{mn 0}$ 、 $m = 0$ または $n = 0$ なら $TE_{mn p}$ ）、0 がない組は $TE_{mn p}$ と $TM_{mn p}$ の 2 モードとして数える
合計してモード数を出す。不等号が等号を含むかどうか（境界ちょうどの組があるか）を最後に確かめる

例題

内部が真空で、壁が完全導体の直方体空洞があり、辺の長さは $a = 2 L, b = L, d = L$ である（真空中の光速を $c$ とする）。共振振動数が $\frac{c}{L}$ より小さい電磁場のモード（ $TE$ と $TM$ は別々に数える）の個数を求めよ。

例題の解答

（手順 1） $f_{mn p} = \frac{c}{2} \frac{m ^{2}}{4 L ^{2}} + \frac{n ^{2}}{L ^{2}} + \frac{p ^{2}}{L ^{2}} = \frac{c}{4 L} m^{2} + 4 n^{2} + 4 p^{2}$ なので、 $f < \frac{c}{L}$ は
$S \equiv m^{2} + 4 n^{2} + 4 p^{2} < 16$
と同じである。

（手順 2・3）0 が 2 つ以上の組は捨て、残りを場合分けして列挙する。
- $p = 0, m, n \geq 1$ ： $m^{2} + 4 n^{2} < 16$ 。 $n = 1$ なら $m^{2} < 12$ で $m = 1, 2, 3$ （ $S = 5, 8, 13$ ）。 $n \geq 2$ では $4 n^{2} \geq 16$ で不可。→ 3 組
- $n = 0, m, p \geq 1$ ：同様に $m = 1, 2, 3, p = 1$ （ $S = 5, 8, 13$ ）。→ 3 組
- $m = 0, n, p \geq 1$ ： $4 (n^{2} + p^{2}) < 16$ より $n = p = 1$ （ $S = 8$ ）。→ 1 組
- $m, n, p \geq 1$ ： $n = p = 1$ で $m^{2} < 8$ より $m = 1, 2$ （ $S = 9, 12$ ）。 $n$ か $p$ が 2 以上だと $4 n^{2} + 4 p^{2} \geq 20$ で不可。→ 2 組

（手順 4）0 がちょうど 1 つの組は 1 モードずつ： $3 + 3 + 1 = 7$ モード（ $TM_{110}, TM_{210}, TM_{310}, TE_{101}, TE_{201}, TE_{301}, TE_{011}$ ）。0 がない組は 2 モードずつ： $2 \times 2 = 4$ モード（ $TE_{111}, TM_{111}, TE_{211}, TM_{211}$ ）。

（手順 5）合計 $7 + 4 = 11$ 。 $S = 16$ ちょうどになるのは $(m, n, p) = (4, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2)$ だけで、どれも 0 が 2 つあるモードのない組なので、不等号に等号を含めても結果は変わらない。

答え: $11$

よくある誤り

どの $(m, n, p)$ にも $TE$ と $TM$ の 2 モードがあるとして、たとえば $(1, 1, 0)$ を 2 つと数えてしまう誤り。 $p = 0$ では $TE$ の $H_{z} \propto sin \frac{p π z}{d}$ が 0 になるので、存在するのは $TM_{110}$ の 1 つだけ。
$(1, 0, 0)$ のように 0 が 2 つある組をモードとして数え、最低の共振振動数を $f_{100} = \frac{c}{2 a}$ としてしまう誤り。0 が 2 つ以上あると場は恒等的に 0 になる。 $a > b > d$ なら最低モードは $TM_{110}$ で $f_{110} = \frac{c}{2} \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}}$ 。
導波管の分散関係で $k_{z} = \frac{2 p π}{d}$ や $k_{z} = \frac{p π}{2 d}$ としてしまう誤り。両端の導体板で定在波の節・腹の条件を満たすには長さ $d$ に半波長の整数倍が入る必要があり、 $k_{z} = \frac{p π}{d}$ 、つまり $f_{mn p}$ の式では $\frac{c}{2} \cdot \frac{p}{d}$ となる。
共振振動数の式を $f_{mn p} = c (m / a)^{2} + (n / b)^{2} + (p / d)^{2}$ と係数 $\frac{1}{2}$ を落としてしまう誤り。 $ω = c (mπ / a)^{2} + \dots$ を $2 π$ で割るので $f = \frac{c}{2} \dots$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
内部が真空で、壁が完全導体の直方体の空洞共振器がある。辺の長さは $x$ 方向に $a = 2 L$ 、 $y$ 方向に $b = L$ 、 $z$ 方向に $d = L$ （ $L > 0$ ）である。添字 $(m, n, p)$ （いずれも $0$ 以上の整数）のモードの共振振動数は
$f_{mn p} = \frac{c}{2} (\frac{m}{a})^{2} + (\frac{n}{b})^{2} + (\frac{p}{d})^{2}$
で与えられる（ $c$ は真空中の光速）。 $z$ 方向を基準として、 $TE_{mn p}$ モードは $p \geq 1$ かつ $m, n$ の少なくとも一方が $1$ 以上のとき、 $TM_{mn p}$ モードは $m \geq 1$ かつ $n \geq 1$ （ $p \geq 0$ ）のときに存在する。
共振振動数が $\frac{c}{L}$ より小さいモードは全部でいくつあるか。ただし、TE モードと TM モードは別のモードとして数え、共振振動数が等しい（縮退した）モードもそれぞれ 1 つと数える。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
内部が真空の直方体空洞共振器を考える。内寸は $x$ 方向 $L$ 、 $y$ 方向 $L$ 、 $z$ 方向 $2 L$ で、壁はすべて完全導体とする。真空中の光速を $c$ とする。
この空洞内の電磁場の固有モード（互いに線形独立な定在波解。同じ共振振動数をもつ縮退したモードも別々に数える）のうち、共振振動数 $f$ が
$f < \frac{11 c}{8 L}$
を満たすものはいくつあるか。整数で答えよ。