発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学）の問題

1. 固有モードの形 壁を $0\le x\le L,0\le y\le L,0\le z\le 2L$ とする。完全導体の壁では電場の接線成分が $0$ になるので、波動方程式 ${\nabla }^2\mathbf{E}+(\omega /c{)}^2\mathbf{E}=0$ の解は
$$E_x=E_1\cos k_{x}x\sin k_{y}y\sin k_{z}z,E_y=E_2\sin k_{x}x\cos k_{y}y\sin k_{z}z,E_z=E_3\sin k_{x}x\sin k_{y}y\cos k_{z}z$$
の形になる。ここで $k_x=\frac{m\pi }{L},k_y=\frac{n\pi }{L},k_z=\frac{p\pi }{2L}$（$m,n,p$ は $0$ 以上の整数）である。さらに真空中なので $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$ が成り立ち、$k_x{E}_1+k_y{E}_2+k_z{E}_3=0$ が要る。

2. 独立なモードの数
- $m,n,p$ がすべて $1$ 以上のとき：振幅ベクトル $(E_1,E_2,E_3)$ は $\mathbf{k}$ に垂直な平面内で自由に選べるので、独立なモードは $2$ 個。
- ちょうど 1 つが $0$ のとき（例えば $m=0$）：$\sin k_{x}x=0$ より $E_y=E_z=0$ である。残る $E_x=E_1\sin k_{y}y\sin k_{z}z$ は $k_x=0$ なので発散の条件を自動的に満たし、モードは $1$ 個。
- 2 つ以上が $0$ のとき：3 成分とも恒等的に $0$ になり、モードは存在しない。

3. 共振振動数 $\omega =c|\mathbf{k}|$ より
$$f=\frac{c}{2}\sqrt{\frac{m^2}{L^2}+\frac{n^2}{L^2}+\frac{p^2}{4L^2}}=\frac{c}{4L}\sqrt{S},S=4m^2+4n^2+p^2$$
である。条件 $f<\frac{11c}{8L}$ は $\sqrt{S}<\frac{11}{2}$、すなわち $S<\frac{121}{4}=30.25$ となる。$S$ は整数なので、これは $S\le 30$ と同じである。

4. 数え上げ

(a) $p=0$、$m,n\ge 1$（各 1 モード）：$4(m^2+n^2)\le 30$ より $m^2+n^2\le 7$ である。$(m,n)=(1,1),(1,2),(2,1)$ の 3 組で、$3$ モード。

(b) $m=0$、$n,p\ge 1$（各 1 モード）：$4n^2+p^2\le 30$ を満たす組を数える。
- $n=1$：$p=1,2,3,4,5$（$S=5,8,13,20,29$）の 5 組。
- $n=2$：$p=1,2,3$（$S=17,20,25$）の 3 組。
- $n\ge 3$：$4n^2\ge 36$ なのでなし。

合計 8 組である。$n=0$、$m,p\ge 1$ の場合も同様に 8 組あるので、合わせて $16$ モード。

(c) $m,n,p\ge 1$（各 2 モード）：$4(m^2+n^2)+p^2\le 30$ を満たす組を数える。
- $m^2+n^2=2$ すなわち $(1,1)$：$p^2\le 22$ より $p=1,2,3,4$ の 4 組。
- $m^2+n^2=5$ すなわち $(1,2),(2,1)$：$p^2\le 10$ より $p=1,2,3$ で、各 3 組の計 6 組。
- $m^2+n^2\ge 8$：$p\ge 1$ では $S\ge 33$ となりなし。

合計 10 組なので $20$ モード。

5. 合計
$$3+16+20=39$$

参考として、最低次のモードは $(m,n,p)=(1,0,1),(0,1,1)$ で、振動数は $f=\frac{\sqrt{5}c}{4L}$ である。

共振振動数は $f=\frac{c}{2}\sqrt{\frac{m^2}{L^2}+\frac{n^2}{L^2}+\frac{p^2}{4L^2}}$ （$m,n,p$ は 0 以上の整数）。条件 $f<\frac{11c}{8L}$ は $4m^2+4n^2+p^2<30.25$、すなわち $4m^2+4n^2+p^2\le 30$ と同値。

許される $(m,n,p)$ は、0 が高々 1 個のものである。0 を 2 個以上含むものは場が恒等的に 0 になるのでモードに数えない。

• $m,n,p$ がすべて 1 以上のとき、各組に独立なモードが 2 つ（TE と TM）ある。
• $(m,n)=(1,1)$：$p^2\le 22$ より $p=1,2,3,4$ の 4 組。
• $(m,n)=(1,2),(2,1)$：$p^2\le 10$ より $p=1,2,3$ で、各 3 組、計 6 組。
• $(2,2)$ 以上は $4m^2+4n^2\ge 32$ となり不可。
• 合計 10 組で、$10\times 2=20$ モード。
• ちょうど 1 つが 0 のとき、各組に独立なモードは 1 つ。
• $m=0$（$n,p\ge 1$）：$n=1$ で $p=1,\dots ,5$ の 5 組、$n=2$ で $p=1,2,3$ の 3 組、計 8 組。
• $n=0$ も同様に 8 組。
• $p=0$（$m,n\ge 1$）：$m^2+n^2\le 7.5$ より $(1,1),(1,2),(2,1)$ の 3 組。
• 合計 19 モード。

以上より、全モード数は $20+19=39$。

検算：最大の $N=30$ は $(1,1,\cdot )$ では出ない。$(1,2,3)$ で $N=4+16+9=29\le 30$ であり、$(1,2,4)$ は $N=36$ で除外される。$(1,1,4)$ は $N=24$ で含まれ、$(1,1,5)$ は $N=33$ で除外される。いずれも整合する。