発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学）の問題

内部が真空の矩形導波管を考える。断面は $0\le x\le a$, $0\le y\le b$ の長方形で、$a=2.00\mathrm{cm}$, $b=1.00\mathrm{cm}$ とする。管壁は完全導体で、管は $z$ 方向に無限に長いとする。真空中の光速を $c=3.00\times 10^{8}m/s$ とする。

この導波管に振動数 $f=31.5\mathrm{GHz}$ の電磁波を入れる。このとき減衰せずに $z$ 方向へ伝搬できるモードの数を求めよ。ただし、モードは ${\mathrm{TE}}_{mn}$ モードと ${\mathrm{TM}}_{mn}$ モード（$m,n$ は 0 以上の整数）として数える。同じ $(m,n)$ の TE モードと TM モードは別々に数え、遮断振動数がたまたま等しい異なるモードもそれぞれ 1 つと数える。

真空中の慣性系 $S$ において、一様な電場と磁場
$$\mathbf{E}=(0,E_0,0),\mathbf{B}=\left(0,0,\frac{E_0}{c}\right)$$
がある（$E_0>0$ は定数、$c$ は真空中の光速、SI 単位系）。系 $S$ に対して $x$ 軸の正の向きに速さ $v=\frac{3}{5}c$ で動く慣性系 $S^{\prime }$（座標軸はそれぞれ平行で、$x^{\prime }$ 軸は $x$ 軸と同じ向き）から見たとき、電場の $y^{\prime }$ 成分 $E_y^{\prime }$ を $E_0$ を用いて表せ。

ただし計量は ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$、$x^{\mu }=(ct,x,y,z)$ とし、電磁場テンソルは $F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }$（$A^{\mu }=(\varphi /c,\mathbf{A})$）で定める。このとき $F^{0i}=-E^i/c$、$F^{12}=-B_z$ である。

真空中に、大きさ $m_0$ の一定の磁気双極子モーメント $\mathbf{m}(t)$ をもつ小さな磁石がある。磁石は $z$ 軸のまわりに一定の角速度 $\omega >0$ で回転しており、$\mathbf{m}$ は $z$ 軸と常に角 $\frac{\pi }{6}$ をなしたまま、$z$ 軸のまわりを角速度 $\omega$ で回る。すなわち
$$\mathbf{m}(t)=m_0\left(\sin \frac{\pi }{6}\cos \omega t,\sin \frac{\pi }{6}\sin \omega t,\cos \frac{\pi }{6}\right)$$
である。磁石の大きさは放射される電磁波の波長に比べて十分小さく、放射は磁気双極子放射だけを考えればよいとする。

磁気双極子モーメント $\mathbf{m}(t)$ の全放射パワーが
$$P=\frac{{\mu }_0|\ddot{\mathbf{m}}{|}^2}{6\pi c^3}$$
で与えられるとき、この磁石が放射する全パワー $P$ を、${\mu }_0$, $m_0$, $\omega$, $c$ で表せ。ただし ${\mu }_0$ は真空の透磁率、$c$ は真空中の光速で、SI 単位系を用いる。

真空中で、電気量 $q$ の点電荷について次の 2 つの運動を考える（$c$ は真空中の光速）。速さと加速度は、どちらも観測者の慣性系で測ったものとする（加速度は観測者の慣性系での速度の時間微分 $\frac{d\mathbf{v}}{dt}$ であり、固有加速度ではない）。

• 運動 A: 直線上を加速しており、ある瞬間の速さが $v=\frac{4}{5}c$、加速度の向きは速度と同じ向きで、その大きさが $a$ である。
• 運動 B: 一定の速さ $v=\frac{4}{5}c$ で等速円運動しており、加速度（向心加速度）の大きさが $a$ である。

全放射パワーはリエナールの公式
$$P=\frac{q^2{\gamma }^6}{6\pi {\epsilon }_{0}c}\left[{\dot{\mathbf{\beta }}}^2-(\mathbf{\beta }\times \dot{\mathbf{\beta }}{)}^2\right],\mathbf{\beta }=\frac{\mathbf{v}}{c},\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$$
で与えられる（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、ドットは観測者の慣性系での時間微分）。上の瞬間における運動 A の全放射パワー $P_{\mathrm{A}}$ と運動 B の全放射パワー $P_{\mathrm{B}}$ の比 $\frac{P_{\mathrm{A}}}{P_{\mathrm{B}}}$ を、既約分数で求めよ。

真空中で、電気量 $q$ の点電荷が $z$ 軸上を正の向きに運動しており、ある瞬間の速度は $\mathbf{v}=\beta c\hat{\mathbf{z}}$、$\beta =\frac{2}{3}$ で、加速度は速度と同じ向き（$\dot{\mathbf{\beta }}\parallel \mathbf{\beta }$、$\dot{\mathbf{\beta }}\ne 0$）である（$c$ は真空中の光速）。この瞬間に粒子が単位時間（粒子の時刻 $t^{\prime }$ あたり）に単位立体角へ放射するパワーは
$$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{q^2}{16{\pi }^2{\epsilon }_{0}c}\frac{|\mathbf{n}\times ((\mathbf{n}-\mathbf{\beta })\times \dot{\mathbf{\beta }}){|}^2}{(1-\mathbf{n}\cdot \mathbf{\beta }{)}^5}$$
で与えられる。ここで $\mathbf{n}$ は放射の向きの単位ベクトル、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。

$\mathbf{n}$ と $z$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$（$0\le \theta \le \pi$）とする。$\theta =\frac{\pi }{3}$ の向き（前方寄り）での $\frac{dP}{d\Omega }$ を $\theta =\frac{2\pi }{3}$ の向き（後方寄り）での $\frac{dP}{d\Omega }$ で割った比を、整数で求めよ。