四重極公式による重力波の放射率

質量分布の換算四重極モーメント $Q_{ij} = \int ρ (x_{i} x_{j} - \frac{1}{3} δ_{ij} r^{2}) d^{3} x$ を時間の関数として書き、3 階時間微分を計算して $P = \frac{G}{5 c ^{5}} ⟨ Q ..._{ij} Q ..._{ij} ⟩$ から回転する棒・連星などの放射率（例: 連星の $\frac{32 G}{5 c ^{5}} μ^{2} a^{4} ω^{6}$ ）を求められる

前提

線形化重力と重力波の偏極（大学院物理一般相対論）
慣性テンソルと主慣性モーメント（大学物理力学（質点・剛体））

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算数中学高校大学大学院

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電磁ポテンシャルと場（大学物理電磁波と電磁場）
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線形化重力と重力波の偏極（大学院物理一般相対論）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）
慣性モーメントの計算（大学物理力学（質点・剛体））
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
慣性テンソルと主慣性モーメント（大学物理力学（質点・剛体））

説明

運動する質量分布（回転する棒、公転する連星など）が重力波として毎秒どれだけのエネルギーを放出するかを、質量分布の四重極モーメントの時間変化だけから計算する技能です。物体の速さが光速より十分小さく、物体の大きさが放射される重力波の波長より十分小さいときに使えます。連星の公転半径が重力波の放射で縮んでいく速さ（連星パルサーの周期減少）や、重力波源の光度の見積もりの基本になります。

なぜそうしてよいのか

前提の技能より、ローレンツゲージの線形化重力では $□ h ˉ_{μν} = - \frac{16 π G}{c ^{4}} T_{μν}$ で、これは電磁気学の $□ A = - μ_{0} J$ と同じ形なので、解は遅延ポテンシャル $h ˉ_{μν} (t, x) = \frac{4 G}{c ^{4}} \int \frac{T _{μν} ( t - ∣ x - x ^{'} ∣/ c , x ^{'} )}{∣ x - x ^{'} ∣} d^{3} x^{'}$ です。源から遠く（距離 $r$ ）、源が小さく遅い場合は分母を $r$ 、遅延時間を $t - r / c$ で置き換えられます。さらにエネルギー・運動量の保存 $\partial_{μ} T^{μν} = 0$ を 2 回使うと、空間成分の積分が質量密度の 2 次モーメントの 2 階微分に書き換わり（ $\int T^{ij} d^{3} x = \frac{1}{2} \frac{d ^{2}}{d t ^{2}} \int ρ x^{i} x^{j} d^{3} x$ ）、 $h ˉ_{ij} \approx \frac{2 G}{c ^{4} r} I ¨_{ij} (t - r / c)$ , $I_{ij} = \int ρ x_{i} x_{j} d^{3} x$ となります。重力波として意味があるのは TT 部分（進行方向に垂直・トレースなし）だけなので、トレースを除いた換算四重極モーメント $Q_{ij} = \int ρ (x_{i} x_{j} - \frac{1}{3} δ_{ij} r^{2}) d^{3} x$ が現れます。

重力波が運ぶエネルギーの流れは $\frac{c ^{3}}{32 π G} ⟨ h ˙_{ij}^{TT} h ˙_{ij}^{TT} ⟩$ （単位面積・単位時間あたり、 $⟨ ⟩$ は波の何周期かにわたる時間平均）で、 $h^{TT} \propto Q ¨ / r$ なので流れは $Q ...^{2} / r^{2}$ に比例し、半径 $r$ の球面で積分すると $r$ によらない一定の放射率になります。各方向への TT 射影を全立体角で平均した結果、 $P = \frac{G}{5 c ^{5}} ⟨ Q ..._{ij} Q ..._{ij} ⟩ (i, j について和)$ が得られます。質量の総量（単極子）は保存し、運動量保存により質量中心の運動（双極子）も等速なので、これらは放射を生まず、最低次の放射が四重極になるのが電磁波との大きな違いです。

$Q_{ij}$ は慣性テンソル $I_{ij}^{in} = \int ρ (r^{2} δ_{ij} - x_{i} x_{j}) d^{3} x$ とは $Q_{ij} = - I_{ij}^{in} + \frac{1}{3} δ_{ij} tr I^{in}$ の関係にあります。剛体の回転では $tr I^{in} = 2 \int ρ r^{2} d^{3} x$ が一定なので、 $Q ..._{ij} = - I ..._{ij}^{in}$ で、どちらで計算しても放射率は同じです。また時間によらない部分は微分で消えるので、 $Q ...$ を計算する際は振動する部分だけを追えば十分です。

手順

質量分布の位置を時間の関数として書く（例: 角速度 $ω$ で回る向き $n (t) = (cos ω t, sin ω t, 0)$ ）。連星なら重心系で相対座標と換算質量 $μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}$ を使う
$Q_{ij} = \int ρ (x_{i} x_{j} - \frac{1}{3} δ_{ij} r^{2}) d^{3} x$ を計算する。 $x y$ 面内の回転では倍角の公式で $cos^{2} ω t = \frac{1 + c o s 2 ω t}{2}$ , $sin ω t cos ω t = \frac{s i n 2 ω t}{2}$ と直し、振動数 $2 ω$ の成分を取り出す
各成分を 3 回時間微分する。 $\frac{d ^{3}}{d t ^{3}} cos 2 ω t = 8 ω^{3} sin 2 ω t$ , $\frac{d ^{3}}{d t ^{3}} sin 2 ω t = - 8 ω^{3} cos 2 ω t$
$Q ..._{ij} Q ..._{ij}$ を 9 成分すべて（ $x y$ と $y x$ の両方を含めて）足し、必要なら時間平均をとる
$P = \frac{G}{5 c ^{5}} ⟨ Q ..._{ij} Q ..._{ij} ⟩$ に代入する。例: 円軌道の連星（間隔 $a$ ）では $P = \frac{32 G}{5 c ^{5}} μ^{2} a^{4} ω^{6}$

例題

質量 $m$ 、長さ $L$ の一様な細い棒が、その中点を通り棒に垂直な軸のまわりを一定の角速度 $ω$ で回転している。四重極公式 $P = \frac{G}{5 c ^{5}} ⟨ Q ..._{ij} Q ..._{ij} ⟩$ （ $G$ は万有引力定数、 $c$ は光速）を用いて、この棒が放射する重力波の放射率 $P$ を $G, m, L, ω, c$ で表せ。

例題の解答

手順 1: 回転軸を $z$ 軸、棒の向きを $n = (cos ω t, sin ω t, 0)$ とし、棒上の点を $x = s n$ （ $- \frac{L}{2} \leq s \leq \frac{L}{2}$ ）、線密度を $\frac{m}{L}$ とする。

手順 2: $Q_{ij} = \int_{- L /2}^{L /2} \frac{m}{L} s^{2} d s (n_{i} n_{j} - \frac{1}{3} δ_{ij}) = K (n_{i} n_{j} - \frac{1}{3} δ_{ij})$ , $K = \frac{m}{L} \cdot \frac{2}{3} (\frac{L}{2})^{3} = \frac{m L ^{2}}{12}$ 。成分は $Q_{xx} = K (\frac{1}{2} cos 2 ω t + \frac{1}{6}), Q_{y y} = K (- \frac{1}{2} cos 2 ω t + \frac{1}{6}), Q_{x y} = Q_{y x} = \frac{K}{2} sin 2 ω t,$ $Q_{z z} = - \frac{K}{3}$ （一定）、 $Q_{x z} = Q_{y z} = 0$ 。

手順 3: $Q ..._{xx} = 4 K ω^{3} sin 2 ω t$ , $Q ..._{y y} = - 4 K ω^{3} sin 2 ω t$ , $Q ..._{x y} = Q ..._{y x} = - 4 K ω^{3} cos 2 ω t$ 、ほかは 0。

手順 4: $Q ..._{ij} Q ..._{ij} = 16 K^{2} ω^{6} (sin^{2} + sin^{2} + cos^{2} + cos^{2}) = 32 K^{2} ω^{6}$ （時間によらないので平均も同じ）。

手順 5: $P = \frac{G}{5 c ^{5}} \cdot 32 (\frac{m L ^{2}}{12})^{2} ω^{6} = \frac{32 G m ^{2} L ^{4} ω ^{6}}{5 \cdot 144 c ^{5}} = \frac{2 G m ^{2} L ^{4} ω ^{6}}{45 c ^{5}} .$ （連星の式で $μ a^{2}$ を $\frac{m L ^{2}}{12}$ に置き換えたものになっている。）

答え: $\frac{2 G m ^{2} L ^{4} ω ^{6}}{45 c ^{5}}$

よくある誤り

$Q ..._{ij} Q ..._{ij}$ の和で非対角成分を 1 回しか数えない誤り（ $Q ..._{xx}^{2} + Q ..._{y y}^{2} + Q ..._{x y}^{2}$ ）。正しくは $i, j$ の両方について和をとるので $Q ..._{x y}^{2}$ と $Q ..._{y x}^{2}$ の両方が入り、連星では $16 μ^{2} a^{4} ω^{6} (2 sin^{2} + 2 cos^{2}) = 32 μ^{2} a^{4} ω^{6}$ 。
重力波の振動数を回転の角速度 $ω$ と同じとし、 $\frac{d ^{3}}{d t ^{3}}$ で $ω^{3}$ しか出さない誤り。正しくは $Q_{ij}$ は $cos^{2} ω t$ などの 2 次式なので振動数は $2 ω$ で、3 階微分で $(2 ω)^{3} = 8 ω^{3}$ が出る。
連星の四重極モーメントに全質量 $m_{1} + m_{2}$ や各星の質量をそのまま使う誤り。正しくは重心系で $m_{1} x_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} x_{2} = μ r r$ （ $r = x_{1} - x_{2}$ , $μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}$ ）なので、 $Q_{ij} = μ (r_{i} r_{j} - \frac{1}{3} δ_{ij} a^{2})$ 。
トレースを除かない $I_{ij} = \int ρ x_{i} x_{j} d^{3} x$ をそのまま $P = \frac{G}{5 c ^{5}} ⟨ I ..._{ij} I ..._{ij} ⟩$ に入れてしまう誤り。トレース $\int ρ r^{2} d^{3} x$ が時間変化する運動（例: 半径が振動する球）では結果が変わる。正しくは $Q_{ij} = I_{ij} - \frac{1}{3} δ_{ij} I_{k k}$ を使う（球対称な脈動では $Q_{ij} = 0$ で放射は 0）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
質量 $m$ の 2 つの質点が、長さ $2 d$ の質量の無視できる棒の両端に固定されている。棒の中点を原点とし、棒は $x y$ 平面内で $z$ 軸のまわりを一定の角速度 $ω$ で回転している。時刻 $t$ における 2 つの質点の位置は
$x_{\pm} (t) = \pm d (cos ω t, sin ω t, 0)$
である。運動はニュートン力学的（ $d ω ≪ c$ ）とし、重力波の放射率（単位時間に放射されるエネルギー）は四重極公式
$P = \frac{G}{5 c ^{5}} ⟨ Q ..._{ij} Q ..._{ij} ⟩, Q_{ij} = 質点 \sum m (x_{i} x_{j} - \frac{1}{3} δ_{ij} r^{2})$
で与えられるとする。ここで $G$ は万有引力定数、 $c$ は光速、 $⟨ ⟩$ は 1 周期についての時間平均を表し、 $i, j$ については $1$ から $3$ まで和をとる。放射の反作用による回転の変化は無視する。このときの放射率 $P$ を $G, c, m, d, ω$ を用いて表せ。

四重極公式による重力波の放射率

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題