ガウス・ボンネの定理（局所版・測地多角形）

区分的に滑らかな境界をもつ単連結領域 $D$ について、 $\iint_{D} K d A + \int_{\partial D} k_{g} d s + \sum_{i} θ_{i} = 2 π$ （ $θ_{i}$ は外角）を使える。これにより、双曲平面の測地三角形の面積 $π - (α + β + γ)$ や、境界の測地的曲率の積分を求められる

前提

計量から求めるガウス曲率（驚異の定理）（大学院数学微分幾何）
クリストッフェル記号と測地線の方程式（大学院数学微分幾何）

この技能までの道筋（84 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
第一基本形式とリーマン計量（大学院数学微分幾何）
計量から求めるガウス曲率（驚異の定理）（大学院数学微分幾何）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）
曲線の長さ（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
空間曲線の曲率とねじれ率（大学院数学微分幾何）
第二基本形式と法曲率（大学院数学微分幾何）
曲面上の曲線の測地的曲率（大学院数学微分幾何）
クリストッフェル記号と測地線の方程式（大学院数学微分幾何）

説明

曲面上の単連結な領域 $D$ について、内部のガウス曲率の総和、境界の測地的曲率の総和、境界の角での曲がり具合（外角）の 3 つを足すと必ず $2 π$ になる、という関係式がガウス・ボンネの定理（局所版）です。 $\iint_{D} K d A + \int_{\partial D} k_{g} d s + i \sum θ_{i} = 2 π$ 3 つのうち 2 つがわかれば残りが決まるので、測地多角形の面積を角だけから求めたり、境界の測地的曲率の積分を面積から求めたりできます。代表例が、双曲平面の測地三角形の面積 $π - (α + β + γ)$ です。

なぜそうしてよいのか

まず平面で考えます（ $K = 0$ ）。単純閉曲線を、内部を左に見る向き（正の向き）に一周すると、接線ベクトルの向きはちょうど $2 π$ 回転します。滑らかな部分での回転の速さが曲率 $k_{g} = \frac{d φ}{d s}$ （ $φ$ は接線の向きの角）で、角では接線が外角 $θ_{i}$ だけ一気に向きを変えます（外角は $π$ から内角を引いたもので、 $- π < θ_{i} < π$ ）。合計すると $\int_{\partial D} k_{g} d s + \sum_{i} θ_{i} = 2 π$ 。たとえば三角形なら辺は直線（ $k_{g} = 0$ ）で外角の和は $3 π - π = 2 π$ 、つまり内角の和が $π$ という事実と同じです。

曲面上では、接線の向きを座標の方向（たとえば直交座標 $F = 0$ の $x_{u} / E$ ）からはかった角 $φ$ で表します。境界を一周すると $φ$ はやはり $2 π$ だけ増えます（ $D$ が単連結で座標 1 枚におさまるので、平面と同じように数えられます）。ところが曲面では座標の方向そのものが場所によってねじれているので、測地的曲率は $k_{g} = \frac{d φ}{d s} + \frac{1}{2 E G} (G_{u} \frac{d v}{d s} - E_{v} \frac{d u}{d s})$ のように、 $\frac{d φ}{d s}$ に座標のねじれの分（クリストッフェル記号から来る項）が加わった形になります。

この余分な項を境界に沿って一周積分したものは、グリーンの定理（ $\oint_{\partial D} (P d u + Q d v) = \iint_{D} (Q_{u} - P_{v}) d u d v$ 、境界は正の向き）によって $D$ 上の重積分に直せます。計算すると被積分関数は $[(\frac{E _{v}}{E G})_{v} + (\frac{G _{u}}{E G})_{u}] \frac{1}{2}$ となり、前提の技能の公式からこれは $- K E G$ 、面積要素は $d A = E G d u d v$ なので、積分は $- \iint_{D} K d A$ です。まとめると $\int k_{g} d s + \sum θ_{i} = 2 π - \iint_{D} K d A$ となり、定理が得られます。曲率が負の曲面では、図形は平面より「余分に曲がらなくても閉じる」ので、外角の和が $2 π$ より大きく（内角の和が小さく）なるのです。

手順

領域 $D$ が単連結（穴がない）で、境界が区分的に滑らかな単純閉曲線であることを確かめ、境界を内部を左に見る向き（正の向き）にとる。
内部のガウス曲率 $K$ を求める（計量から公式で計算する。双曲平面 $\frac{d x ^{2} + d y ^{2}}{y ^{2}}$ なら $K = - 1$ ）。 $K$ が定数なら $\iint_{D} K d A = K \cdot (面積)$ 。
境界の各辺の測地的曲率 $k_{g}$ （正の向きで、内側に曲がるとき正）を調べる。測地線の辺なら $k_{g} = 0$ でその積分は $0$ 。
各頂点の外角 $θ_{i} = π - (内角_{i})$ を求めて足す。 $n$ 角形なら $\sum θ_{i} = nπ - \sum (内角)$ 。
$\iint_{D} K d A + \int_{\partial D} k_{g} d s + \sum_{i} θ_{i} = 2 π$ に代入し、知りたい量について解く。双曲平面の測地三角形なら $- A + 0 + (3 π - (α + β + γ)) = 2 π$ より $A = π - (α + β + γ)$ 。

例題

上半平面 ${(x, y) ∣ y > 0}$ に計量 $\frac{d x ^{2} + d y ^{2}}{y ^{2}}$ を入れた双曲平面において、3 つの内角が $\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{π}{8}$ である測地三角形がある。この三角形（の内部と周からなる領域）の面積を求めよ。

例題の解答

手順 1: 測地三角形の周は 3 本の測地線分からなる単純閉曲線で、囲まれた領域 $D$ は単連結。周を正の向きにとる。

手順 2: この計量は共形計量 $λ (d x^{2} + d y^{2})$ , $λ = y^{- 2}$ で、 $lo g λ = - 2 lo g y$ , $Δ lo g λ = \frac{2}{y ^{2}}$ より $K = - \frac{2/ y ^{2}}{2/ y ^{2}} = - 1$ 。よって面積を $A$ とすると $\iint_{D} K d A = - A$ 。

手順 3: 辺はすべて測地線なので $k_{g} = 0$ 、 $\int_{\partial D} k_{g} d s = 0$ 。

手順 4: 外角の和は $(π - \frac{π}{2}) + (π - \frac{π}{3}) + (π - \frac{π}{8}) = 3 π - \frac{23 π}{24}$ 。

手順 5: ガウス・ボンネの定理より $- A + 0 + 3 π - \frac{23 π}{24} = 2 π$ 、したがって $A = π - \frac{23 π}{24} = \frac{π}{24}$ 。

答え: $\frac{π}{24}$

よくある誤り

外角のところに内角をそのまま入れてしまう誤り。正しくは $θ_{i} = π - (内角_{i})$ 。三角形で内角を入れると $- A + (α + β + γ) = 2 π$ となり、面積が負になるなどおかしな結果になる。正しくは $- A + 3 π - (α + β + γ) = 2 π$ 。
境界の向きや $k_{g}$ の符号を考えずに積分してしまう誤り。正しくは境界を内部を左に見る向きにとり、内側へ曲がるとき $k_{g} > 0$ とする。例えば単位球面の北極を中心とする極角 $r$ の円板（ $0 < r < π$ ）では $\int k_{g} d s = 2 π - 2 π (1 - cos r) = 2 π cos r$ で、 $r > \frac{π}{2}$ なら負になる。
曲率が $- 1$ でない双曲的な曲面でも面積を $π - (α + β + γ)$ としてしまう誤り。正しくは定曲率 $K$ なら $K A = (α + β + γ) - π$ で、例えば計量 $R^{2} \frac{d x ^{2} + d y ^{2}}{y ^{2}}$ （ $K = - \frac{1}{R ^{2}}$ ）では $A = R^{2} {π - (α + β + γ)}$ 。
穴のある領域（単連結でない領域）にも右辺 $2 π$ を使ってしまう誤り。この形の定理は単連結な領域についてのもの。例えば平面の円環 $1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 2$ では、外周 $\int k_{g} d s = 2 π$ 、内周（領域を左に見る向きで時計回り） $\int k_{g} d s = - 2 π$ で、合計は $0$ であり $2 π$ にならない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
上半平面 $H = {(x, y) \in R^{2} ∣ y > 0}$ にリーマン計量
$d s^{2} = \frac{4 ( d x ^{2} + d y ^{2} )}{y ^{2}}$
を入れる。 $H$ 内の閉領域 $D$ は単連結で、その境界は 4 本の測地線分からなり、 $D$ の 4 つの頂点における内角はそれぞれ $\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{π}{4}, \frac{π}{6}$ である（測地四角形）。この計量に関する $D$ の面積を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ガウス・ボンネの定理（大域版）とオイラー標数（大学院数学微分幾何）