ガウス・ボンネの定理（大域版）とオイラー標数

閉曲面について $\iint_{S} K d A = 2 π χ (S)$ を使い、球面・トーラス・種数 $g$ の曲面の全曲率を求められる。境界つき曲面では $\iint K d A + \int_{\partial S} k_{g} d s = 2 π χ (S)$ を使え、オイラー標数は三角形分割から $v - e + f$ で求められる

前提

ガウス・ボンネの定理（局所版・測地多角形）（大学院数学微分幾何）
平面グラフとオイラーの公式（大学数学グラフ理論）

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算数中学高校大学大学院

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説明

閉曲面（境界のないコンパクトな曲面）では、ガウス曲率を曲面全体で積分した全曲率 $\iint_{S} K d A$ が、曲面の形の細部や計量によらず、オイラー標数 $χ (S)$ だけで $2 π χ (S)$ と決まります。オイラー標数は曲面を三角形に分割したときの頂点数 $v$ ・辺数 $e$ ・面数 $f$ から $χ = v - e + f$ で計算でき、球面は $2$ 、トーラスは $0$ 、種数 $g$ の（連結で向き付け可能な）閉曲面は $2 - 2 g$ です。滑らかな（角のない）境界をもつ曲面では、境界の測地的曲率の積分を加えた $\iint_{S} K d A + \int_{\partial S} k_{g} d s = 2 π χ (S)$ が成り立ちます。

なぜそうしてよいのか

曲面 $S$ を、十分小さな三角形（区分的に滑らかな辺をもち、それぞれ単連結な領域）に分割し、頂点 $v$ 個、辺 $e$ 本、面 $f$ 個とします。各三角形 $T$ に局所版を使うと、外角の和は $3 π - (内角の和)$ なので $\iint_{T} K d A + \int_{\partial T} k_{g} d s + (3 π - 内角の和) = 2 π$ です。これを $f$ 個すべて足します。閉曲面では、各辺はちょうど 2 つの三角形に共有され、それぞれの三角形の正の向きでは逆向きにたどられるので、 $k_{g}$ の積分は打ち消し合って $0$ になります（向きを逆にすると $k_{g}$ の符号が変わるため）。また、すべての三角形の内角を合計すると、各頂点のまわりで $2 π$ ずつなので $2 π v$ です。よって $\iint_{S} K d A + 3 π f - 2 π v = 2 π f .$

さらに各三角形は 3 本の辺をもち、各辺は 2 つの三角形に数えられるので $3 f = 2 e$ 、すなわち $π f = 2 π e - 2 π f$ です。代入すると $\iint_{S} K d A = 2 π v - π f = 2 π (v - e + f)$ となります。左辺は三角形分割の選び方によらないので、 $v - e + f$ も分割によらない曲面固有の数です。これをオイラー標数 $χ (S)$ と呼びます。一方、右辺は計量によらないので、曲面をどう曲げ伸ばししても全曲率は変わりません。この計算に連結性は使っていません。

球面は、正四面体を膨らませた分割で $χ = 4 - 6 + 4 = 2$ （平面グラフのオイラーの公式と同じ）。連結な曲面に「取っ手」を 1 つ付けるには、三角形を 2 つ取り除き（ $f$ が 2 減る）、その 2 つの穴を筒でつなぎます。筒（円柱面）の分割は $χ = 0$ で、貼り合わせる境界の円は頂点と辺が同数なので $χ$ を変えません。したがって取っ手 1 つごとに $χ$ は $2$ 減り、種数 $g$ の連結で向き付け可能な閉曲面は $χ = 2 - 2 g$ です。境界がある場合は、境界が滑らか（角がない）と仮定します。境界上の辺は 1 つの三角形にしか属さないので $k_{g}$ の積分が境界の分だけ残ります。境界上の頂点では境界がまっすぐつながっているので、そのまわりの内角の和は $π$ です（内部の頂点では $2 π$ ）。境界上の辺の数 $e_{\partial}$ と境界上の頂点の数は等しく、 $3 f = 2 e - e_{\partial}$ なので、同じ計算で $\iint_{S} K d A + \int_{\partial S} k_{g} d s = 2 π χ (S)$ が得られます。境界に角があるときは、その頂点での内角の和が $π$ にならず、外角 $θ_{i}$ の和 $\sum_{i} θ_{i}$ を左辺に加えた $\iint_{S} K d A + \int_{\partial S} k_{g} d s + \sum_{i} θ_{i} = 2 π χ (S)$ になります。

手順

曲面が閉曲面か、境界をもつかを確認する。境界があれば、境界を曲面を左に見る向きにとり、境界に角があるか（あれば外角 $θ_{i}$ ）も確かめる。
オイラー標数を求める。三角形分割が与えられていれば $χ = v - e + f$ 。閉曲面なら $3 f = 2 e$ 、境界つきなら $3 f = 2 e - e_{\partial}$ （ $e_{\partial}$ は境界上の辺の数）で $e$ を補える。
形がわかっている場合は既知の値を使う。球面 $χ = 2$ 、トーラス $χ = 0$ 、種数 $g$ の連結で向き付け可能な閉曲面 $χ = 2 - 2 g$ 、円板 $χ = 1$ 、円柱面（円環） $χ = 0$ 。
閉曲面なら $\iint_{S} K d A = 2 π χ (S)$ 、滑らかな境界をもつなら $\iint_{S} K d A + \int_{\partial S} k_{g} d s = 2 π χ (S)$ （境界に角があれば左辺に $\sum_{i} θ_{i}$ を加える）に代入し、求めたい量について解く。

例題

連結で向き付け可能な閉曲面 $S$ が、頂点 $10$ 個、三角形 $24$ 個からなる三角形分割をもつ。 $S$ に任意のリーマン計量を入れたとき、全曲率 $\iint_{S} K d A$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $S$ は閉曲面なので、境界の項はなく $\iint_{S} K d A = 2 π χ (S)$ を使う。

手順 2: 閉曲面では各辺がちょうど 2 つの三角形に共有されるので $3 f = 2 e$ 、 $3 \cdot 24 = 2 e$ より $e = 36$ 。よって $χ (S) = v - e + f = 10 - 36 + 24 = - 2$ 。

手順 3（確認）: $S$ は連結で向き付け可能なので $2 - 2 g = - 2$ より $S$ は種数 $2$ の曲面である。

手順 4: $\iint_{S} K d A = 2 π \cdot (- 2) = - 4 π$ 。この値は計量の選び方によらない。

答え: $- 4 π$

よくある誤り

種数 $g$ の閉曲面のオイラー標数を $2 - g$ としてしまう誤り。正しくは取っ手 1 つで $χ$ が $2$ 減るので $χ = 2 - 2 g$ 。例えばトーラス（ $g = 1$ ）は $χ = 0$ で全曲率は $0$ （ $2 π$ ではない）。
辺の数を三角形の数の 3 倍 $e = 3 f$ と数えてしまう誤り。正しくは閉曲面では各辺が 2 つの三角形に共有されるので $e = \frac{3 f}{2}$ 。例えば正四面体型の球面の分割では $f = 4$ で $e = 6$ （ $12$ ではない）。
全曲率を $χ (S)$ そのもの、あるいは $4 π χ (S)$ としてしまう誤り。正しくは $\iint_{S} K d A = 2 π χ (S)$ 。半径 $R$ の球面では $K = \frac{1}{R ^{2}}$ 、面積 $4 π R^{2}$ で全曲率 $4 π = 2 π \cdot 2$ となり確かめられる。
境界つき曲面で境界の項（や角の外角）を落とすか、閉曲面の $χ$ を使ってしまう誤り。正しくは滑らかな境界なら $\iint_{S} K d A + \int_{\partial S} k_{g} d s = 2 π χ (S)$ で、円板なら $χ = 1$ 。例えば単位球面の北半球では $\iint K d A = 2 π$ 、境界の赤道は測地線で $\int k_{g} d s = 0$ 、合計 $2 π = 2 π \cdot 1$ 。境界に角があれば外角の和 $\sum_{i} θ_{i}$ も左辺に加える（例: 単位球面の 8 分の 1 の測地三角形では $\frac{π}{2} + 0 + 3 \cdot \frac{π}{2} = 2 π$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$S$ を $R^{3}$ 内の連結でコンパクトな、境界をもたない滑らかな曲面（閉曲面）とし、 $R^{3}$ の標準内積から誘導される計量を入れる。 $S$ には、頂点が $10$ 個、三角形の面が $24$ 個の三角形分割がある（各辺はちょうど $2$ つの三角形に共有される）。 $S$ のガウス曲率を $K$ 、面積要素を $d A$ とするとき、全曲率
$\iint_{S} K d A$
を求めよ。