微分幾何の問題

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面を
$$X(u,v)=\left(u,v,u^2+4uv+v^2\right)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
で表し、${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。単位法線ベクトルを $\nu =\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}$ と定める。原点 $X(0,0)=(0,0,0)$ における主曲率を ${\kappa }_1,{\kappa }_2$（${\kappa }_1\ge {\kappa }_2$）とするとき、組 $({\kappa }_1,{\kappa }_2)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面（懸垂面の一部）
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+y^2={\cosh }^{2}z,|z|\le \log 2\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ のガウス曲率を $K$、面積要素を $dA$ とするとき、全ガウス曲率
$${\iint }_{S}KdA$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面を
$$X(u,v)=\left(u,v,u^2+uv+2v^2\right)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
で表し、${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。単位法線ベクトルを $\nu =\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}$ と定め、第二基本形式の係数を $L=X_{uu}\cdot \nu ,M=X_{uv}\cdot \nu ,N=X_{vv}\cdot \nu$ とする。原点 $X(0,0)=(0,0,0)$ におけるガウス曲率 $K$ と平均曲率 $H=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}$ を求め、組 $(K,H)$ の形で答えよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の回転放物面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=x^2+y^2\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れ、$S$ の単位法線ベクトルを
$$\nu (x,y,z)=\frac{(-2x,-2y,1)}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}$$
と定める。$S$ 上の曲線
$$\gamma (s)=(\cos s,\sin s,1)(s\in \mathbb{R})$$
を考える（$s$ は弧長パラメータである）。$\gamma$ の測地的曲率を $k_g=(\nu \times {\gamma }^{\prime })\cdot {\gamma }^{\prime \prime }$ で定めるとき、$k_g$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ の座標を $(x,y)$ とし、リーマン計量
$$g=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{1+x^2+y^2}$$
を考える。$({\mathbb{R}}^2,g)$ のガウス曲率を $K$、$g$ に関する面積要素を $dA$ とするとき、積分
$${\int }_{{\mathbb{R}}^2}KdA$$
は収束する。この値を求めよ。