微分幾何の問題

パラメータ表示. $S$ は曲線 $x=\cosh z$ を $z$ 軸のまわりに回転させた曲面なので
$$X(u,v)=(\cosh u\cos v,\cosh u\sin v,u)(|u|\le \log 2,0\le v\le 2\pi )$$
とパラメータ表示できる。

第一基本形式.
$$X_u=(\sinh u\cos v,\sinh u\sin v,1),X_v=(-\cosh u\sin v,\cosh u\cos v,0)$$
より
$$E={\sinh }^{2}u+1={\cosh }^{2}u,F=0,G={\cosh }^{2}u.$$
よって $dA=\sqrt{EG-F^2}dudv={\cosh }^{2}ududv$。

単位法線.
$$X_u\times X_v=(-\cosh u\cos v,-\cosh u\sin v,\sinh u\cosh u),|X_u\times X_v|=\cosh u\sqrt{1+{\sinh }^{2}u}={\cosh }^{2}u$$
より $n=\frac{1}{\cosh u}(-\cos v,-\sin v,\sinh u)$。

第二基本形式.
$$X_{uu}=(\cosh u\cos v,\cosh u\sin v,0),X_{uv}=(-\sinh u\sin v,\sinh u\cos v,0),X_{vv}=(-\cosh u\cos v,-\cosh u\sin v,0)$$
より
$$L=X_{uu}\cdot n=\frac{-\cosh u({\cos }^{2}v+{\sin }^{2}v)}{\cosh u}=-1,M=X_{uv}\cdot n=0,N=X_{vv}\cdot n=\frac{\cosh u}{\cosh u}=1.$$

曲率.
$$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=-\frac{1}{{\cosh }^{4}u},H=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}=\frac{{\cosh }^{2}u-{\cosh }^{2}u}{2{\cosh }^{4}u}=0$$
（懸垂面は極小曲面である）。

全ガウス曲率.
$${\iint }_{S}KdA={\int }_0^{2\pi }{\int }_{-\log 2}^{\log 2}\left(-\frac{1}{{\cosh }^{4}u}\right){\cosh }^{2}ududv=-2\pi [\tanh u{]}_{-\log 2}^{\log 2}=-4\pi \tanh (\log 2).$$
ここで
$$\tanh (\log 2)=\frac{e^{\log 2}-e^{-\log 2}}{e^{\log 2}+e^{-\log 2}}=\frac{2-\frac{1}{2}}{2+\frac{1}{2}}=\frac{3}{5}$$
なので
$${\iint }_{S}KdA=-\frac{12\pi }{5}.$$

（検算：ガウス写像 $n$ は $S$ を単位球面の帯 $|n_3|\le \tanh (\log 2)=\frac{3}{5}$（$n_3=\tanh u$）へ向きを逆にして $1$ 対 $1$ に写し、その面積は $2\pi \cdot \frac{6}{5}=\frac{12\pi }{5}$ なので符号も含めて一致する。）

$S$ は回転面 $r=\cosh z$（懸垂面）で、$(x,y,z)=(\cosh z\cos \theta ,\cosh z\sin \theta ,z)$, $0\le \theta <2\pi$, $|z|\le \log 2$ とパラメータ付けできる。

基本量: $X_z=(\sinh z\cos \theta ,\sinh z\sin \theta ,1)$, $X_{\theta }=(-\cosh z\sin \theta ,\cosh z\cos \theta ,0)$。$E={\sinh }^{2}z+1={\cosh }^{2}z$, $F=0$, $G={\cosh }^{2}z$。よって $dA=\sqrt{EG-F^2}dzd\theta ={\cosh }^{2}zdzd\theta$。

ガウス曲率: 回転面 $r=f(z)$ では $K=-\frac{f^{\prime \prime }}{f(1+f^{\prime 2}{)}^2}$。$f=\cosh z$ より $K=-\frac{\cosh z}{\cosh z\cdot (1+{\sinh }^{2}z{)}^2}=-\frac{1}{{\cosh }^{4}z}$。

積分: ${\iint }_{S}KdA=-{\int }_0^{2\pi }{\int }_{-\log 2}^{\log 2}\frac{{\cosh }^{2}z}{{\cosh }^{4}z}dzd\theta =-2\pi [\tanh z{]}_{-\log 2}^{\log 2}=-4\pi \tanh (\log 2)$。

$\tanh (\log 2)=\frac{2-\frac{1}{2}}{2+\frac{1}{2}}=\frac{3}{5}$ なので、値は $-\frac{12\pi }{5}$。

検算: ガウス写像の像は単位球面の帯 $|n_z|\le \tanh (\log 2)=3/5$ で、その面積は $2\pi \cdot 2\cdot \frac{3}{5}=\frac{12\pi }{5}$。懸垂面は $K<0$ なので全曲率は $-\frac{12\pi }{5}$。一致。