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微分幾何の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学微分幾何

$R^{3}$ 内のトーラス
$T = {((3 + cos v) cos u, (3 + cos v) sin u, sin v) ∣ u, v \in R}$
に $R^{3}$ の標準内積から誘導される計量を入れる。 $T$ の平均曲率を $H = \frac{κ _{1} + κ _{2}}{2}$ （ $κ_{1}, κ_{2}$ は主曲率）、面積要素を $d A$ とするとき、
$\int_{T} H^{2} d A$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

第一基本形式とリーマン計量（説明と入口の問題）
第二基本形式と法曲率（説明と入口の問題）
ガウス曲率と平均曲率（説明と入口の問題）
主曲率と主方向（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（85 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$X (u, v) = ((3 + cos v) cos u, (3 + cos v) sin u, sin v)$ とパラメータ表示し、第一基本形式 $E, F, G$ と第二基本形式 $L, M, N$ を計算しよう。

ヒント 2

$F = M = 0$ となるので、主曲率は $L / E$ と $N / G$ である。面積要素は $d A = E G - F^{2} d u d v$ 。

ヒント 3

$H = \frac{3 + 2 cos v}{2 ( 3 + cos v )}$ 、 $d A = (3 + cos v) d u d v$ となる。 $(3 + 2 cos v)^{2} / (3 + cos v)$ を $3 + cos v$ の多項式部分と余りに分け、 $\int_{0}^{2 π} \frac{d v}{3 + c o s v}$ を計算する。

答えと解説

答えを見る

\frac{9 2}{4} π^{2}

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解説を読む

一般に $R > r > 0$ として $X (u, v) = ((R + r cos v) cos u, (R + r cos v) sin u, r sin v)$ を考え、最後に $R = 3, r = 1$ とおく。

第一基本形式.
$X_{u} = (- (R + r cos v) sin u, (R + r cos v) cos u, 0), X_{v} = (- r sin v cos u, - r sin v sin u, r cos v)$
より $E = (R + r cos v)^{2}, F = 0, G = r^{2}$ 。面積要素は $d A = E G - F^{2} d u d v = r (R + r cos v) d u d v$ 。

第二基本形式. 単位法線を $ν = - (cos v cos u, cos v sin u, sin v)$ （内向き）にとる。
$X_{uu} = (- (R + r cos v) cos u, - (R + r cos v) sin u, 0), X_{uv} = (r sin v sin u, - r sin v cos u, 0),$
$X_{v v} = (- r cos v cos u, - r cos v sin u, - r sin v)$
より $L = X_{uu} \cdot ν = (R + r cos v) cos v, M = X_{uv} \cdot ν = 0, N = X_{v v} \cdot ν = r$ 。

主曲率と平均曲率. $F = M = 0$ なので主曲率は
$κ_{1} = \frac{L}{E} = \frac{cos v}{R + r cos v}, κ_{2} = \frac{N}{G} = \frac{1}{r},$
$H = \frac{1}{2} (\frac{1}{r} + \frac{cos v}{R + r cos v}) = \frac{R + 2 r cos v}{2 r ( R + r cos v )} .$
（ $H^{2}$ は法線の向きによらない。）

積分.
$H^{2} d A = \frac{( R + 2 r cos v ) ^{2}}{4 r ( R + r cos v )} d u d v .$
$w = R + r cos v$ とおくと $R + 2 r cos v = 2 w - R$ なので
$\frac{( 2 w - R ) ^{2}}{w} = 4 w - 4 R + \frac{R ^{2}}{w} .$
$\int_{0}^{2 π} w d v = 2 π R$ 、および $\int_{0}^{2 π} \frac{d v}{R + r cos v} = \frac{2 π}{R ^{2} - r ^{2}}$ を用いると
$\int_{0}^{2 π} \frac{( R + 2 r cos v ) ^{2}}{R + r cos v} d v = 8 π R - 8 π R + \frac{2 π R ^{2}}{R ^{2} - r ^{2}} = \frac{2 π R ^{2}}{R ^{2} - r ^{2}} .$
$u$ について $0$ から $2 π$ まで積分して
$\int_{T} H^{2} d A = \frac{2 π}{4 r} \cdot \frac{2 π R ^{2}}{R ^{2} - r ^{2}} = \frac{π ^{2} R ^{2}}{r R ^{2} - r ^{2}} .$
$R = 3, r = 1$ を代入すると
$\int_{T} H^{2} d A = \frac{9 π ^{2}}{8} = \frac{9 2}{4} π^{2} .$

別解

$R = 3, r = 1$ のトーラス。面積要素は $d A = (R + r cos v) d u d v$ （ $r = 1$ ）。主曲率は $κ_{1} = 1$ （ $v$ 方向の円）、 $κ_{2} = \frac{cos v}{3 + cos v}$ なので $H = \frac{1}{2} (1 + \frac{cos v}{3 + cos v}) = \frac{3 + 2 cos v}{2 ( 3 + cos v )}$ 。よって $\int_{T} H^{2} d A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{( 3 + 2 cos v ) ^{2}}{4 ( 3 + cos v ) ^{2}} (3 + cos v) d u d v = \frac{2 π}{4} \int_{0}^{2 π} \frac{( 3 + 2 cos v ) ^{2}}{3 + cos v} d v$ 。 $(3 + 2 c)^{2} = 4 c^{2} + 12 c + 9 = (3 + c) \cdot 4 c + 9$ より被積分関数は $4 cos v + \frac{9}{3 + cos v}$ 。 $\int_{0}^{2 π} cos v d v = 0$ 、 $\int_{0}^{2 π} \frac{d v}{3 + cos v} = \frac{2 π}{9 - 1} = \frac{π}{2}$ 。よって値は $\frac{π}{2} \cdot 9 \cdot \frac{π}{2} = \frac{9 π ^{2}}{2 2} = \frac{9 2 π ^{2}}{4}$ 。検算: 一般のトーラスのウィルモアエネルギー $π^{2} a^{2} / a^{2} - 1$ （ $a = R / r = 3$ ）と一致し、 $a = 2$ で $2 π^{2}$ になる既知の結果とも整合する。

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