ガウス曲率と平均曲率

$K = \frac{L N - M ^{2}}{E G - F ^{2}}$ と $H = \frac{E N - 2 F M + G L}{2 ( E G - F ^{2} )}$ で、グラフ曲面・回転面・トーラスなどの各点のガウス曲率・平均曲率を求められる。それを面積要素とあわせて $\int H^{2} d A$ のような曲率の積分を計算できる

前提

第二基本形式と法曲率（大学院数学微分幾何）

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算数中学高校大学大学院

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第一基本形式とリーマン計量（大学院数学微分幾何）
第二基本形式と法曲率（大学院数学微分幾何）

説明

曲面の各点での曲がり方を、ガウス曲率 $K$ と平均曲率 $H$ という 2 つの数にまとめる方法を学びます。第一基本形式の係数 $E, F, G$ と第二基本形式の係数 $L, M, N$ から、 $K = \frac{L N - M ^{2}}{E G - F ^{2}}$ 、 $H = \frac{E N - 2 F M + G L}{2 ( E G - F ^{2} )}$ で計算できます。グラフ曲面・回転面・トーラスなどの曲率を求めたり、面積要素 $d A = E G - F^{2} d u d v$ とあわせて $\int K d A$ や $\int H^{2} d A$ のような曲率の積分を計算したりするときに使います。

なぜそうしてよいのか

前提の技能で、接方向 $(d u, d v)$ の法曲率は $k_{n} = \frac{II}{I} = \frac{L d u ^{2} + 2 M d u d v + N d v ^{2}}{E d u ^{2} + 2 F d u d v + G d v ^{2}}$ でした。 $k_{n}$ は $(d u, d v)$ を $0$ でない定数倍しても変わらないので、方向だけの関数です。方向によって値が変わり、その最大値と最小値を主曲率 $k_{1}, k_{2}$ と呼びます。ガウス曲率は $K = k_{1} k_{2}$ 、平均曲率は $H = \frac{k _{1} + k _{2}}{2}$ と定義します。

$k_{n}$ が方向 $(d u, d v) \neq = (0, 0)$ で最大または最小の値 $λ$ をとるとすると、関数 $II - λ I$ （ $d u, d v$ の 2 次式）はそこで $0$ になり、しかもその近くで常に $\leq 0$ （または常に $\geq 0$ ）です。つまりその点で極値をとるので、 $d u, d v$ についての偏微分が $0$ になります。 $\partial II / \partial (d u) = 2 (L d u + M d v)$ 、 $\partial I / \partial (d u) = 2 (E d u + F d v)$ などから
$(L - λ E) d u + (M - λ F) d v = 0, (M - λ F) d u + (N - λ G) d v = 0$
が得られます。 $(d u, d v) \neq = (0, 0)$ の解をもつので係数の行列式が $0$ で、展開すると
$(E G - F^{2}) λ^{2} - (E N - 2 F M + G L) λ + (L N - M^{2}) = 0.$
主曲率 $k_{1}, k_{2}$ はこの 2 次方程式の 2 解（重解を含む）なので、解と係数の関係から $k_{1} k_{2} = \frac{L N - M ^{2}}{E G - F ^{2}}$ 、 $k_{1} + k_{2} = \frac{E N - 2 F M + G L}{E G - F ^{2}}$ となり、上の公式が出てきます。ここで $E G - F^{2} = ∣ X_{u} \times X_{v} ∣^{2} > 0$ なので、分母が $0$ になることはありません。

単位法線 $ν$ を $- ν$ に取り替えると $L, M, N$ はすべて符号が変わります。 $K$ の分子 $L N - M^{2}$ は $L, M, N$ について 2 次なので変わりませんが、 $H$ は符号が変わります。つまり $K$ は向きによらない量で、 $H$ は単位法線の向きを決めてはじめて値が定まる量です。主曲率は法曲率という図形的な量（ただし $ν$ の向きを決めたうえでの量）から決まるので、単位法線 $ν$ を固定すれば、あるいは向きを保つパラメータ変換（ヤコビアンが正の変換）だけを考えれば、 $K, H$ はパラメータの取り方によりません。一方、 $u$ と $v$ を入れ替えるなど向きを反転させるパラメータ変換をして $ν = \frac{X _{u} \times X _{v}}{∣ X _{u} \times X _{v} ∣}$ で法線をとり直すと、 $ν$ が $- ν$ になるので $H$ の符号が変わります（ $K$ は変わりません）。

手順

接ベクトル $X_{u}, X_{v}$ を求め、第一基本形式の係数 $E = X_{u} \cdot X_{u}, F = X_{u} \cdot X_{v}, G = X_{v} \cdot X_{v}$ と $E G - F^{2}$ を計算する
単位法線を $ν = \frac{X _{u} \times X _{v}}{∣ X _{u} \times X _{v} ∣}$ と決める。 $∣ X_{u} \times X_{v} ∣ = E G - F^{2}$ を使ってよい。 $H$ の符号はこの向きで決まるので、指定された向きと合っているか確かめ、逆なら $- ν$ にとる
2 階偏導関数 $X_{uu}, X_{uv}, X_{v v}$ を求め、 $L = X_{uu} \cdot ν, M = X_{uv} \cdot ν, N = X_{v v} \cdot ν$ を計算する
$K = \frac{L N - M ^{2}}{E G - F ^{2}}$ 、 $H = \frac{E N - 2 F M + G L}{2 ( E G - F ^{2} )}$ に代入する（必要なら主曲率は $k_{1, 2} = H \pm H^{2} - K$ ）
曲率の積分を求めるときは、面積要素 $d A = E G - F^{2} d u d v$ をかけてパラメータ領域で重積分する

例題

曲面 $X (u, v) = (u, v, u^{2} + v^{2})$ の点 $(u, v) = (1, 0)$ におけるガウス曲率 $K$ と平均曲率 $H$ を求めよ。ただし単位法線 $ν$ は $z$ 成分が正の向きにとる。答えは $(K, H)$ の順の組で書け。

例題の解答

手順 1: $X_{u} = (1, 0, 2 u)$ 、 $X_{v} = (0, 1, 2 v)$ より $E = 1 + 4 u^{2}$ 、 $F = 4 uv$ 、 $G = 1 + 4 v^{2}$ 、 $E G - F^{2} = 1 + 4 u^{2} + 4 v^{2}$ 。点 $(1, 0)$ では $E = 5, F = 0, G = 1, E G - F^{2} = 5$ 。

手順 2: $X_{u} \times X_{v} = (- 2 u, - 2 v, 1)$ は $z$ 成分が正で指定の向きと合うので、このまま正規化して $ν = \frac{( - 2 u , - 2 v , 1 )}{1 + 4 u ^{2} + 4 v ^{2}}$ 。点 $(1, 0)$ では $ν = \frac{( - 2 , 0 , 1 )}{5}$ 。

手順 3: $X_{uu} = (0, 0, 2)$ 、 $X_{uv} = (0, 0, 0)$ 、 $X_{v v} = (0, 0, 2)$ なので、点 $(1, 0)$ で $L = \frac{2}{5}$ 、 $M = 0$ 、 $N = \frac{2}{5}$ 。

手順 4:
$K = \frac{L N - M ^{2}}{E G - F ^{2}} = \frac{4/5}{5} = \frac{4}{25},$
$H = \frac{E N - 2 F M + G L}{2 ( E G - F ^{2} )} = \frac{5 \cdot \frac{2}{5} - 0 + 1 \cdot \frac{2}{5}}{2 \cdot 5} = \frac{12/ 5}{10} = \frac{6}{5 5} = \frac{6 5}{25} .$

よって $(K, H) = (\frac{4}{25}, \frac{6 5}{25})$ 。（確かめ: $H^{2} - K = \frac{36}{125} - \frac{20}{125} = \frac{16}{125} \geq 0$ で、主曲率 $H \pm H^{2} - K$ は実数になる。）

答え: $(\frac{4}{25}, \frac{6 5}{25})$

よくある誤り

$X_{u} \times X_{v}$ を正規化せずに法線として使ってしまう誤り。 $L, M, N$ がすべて $∣ X_{u} \times X_{v} ∣ = E G - F^{2}$ 倍になり、 $K$ は $E G - F^{2}$ 倍、 $H$ は $E G - F^{2}$ 倍ずれる（例題なら $K = \frac{4}{5}$ と誤る）。正しくは $ν = \frac{X _{u} \times X _{v}}{E G - F ^{2}}$ で割ってから内積をとる。
$H$ の分子を $E L - 2 F M + GN$ としてしまう誤り。正しくは $E$ と $N$ 、 $G$ と $L$ を交差させた $E N - 2 F M + G L$ で、分母の 2 も忘れない： $H = \frac{E N - 2 F M + G L}{2 ( E G - F ^{2} )}$ 。
$H$ の符号が向きによらないと思ってしまう誤り。半径 $r$ の球面で外向きの法線をとると $H = - \frac{1}{r}$ 、内向きなら $H = \frac{1}{r}$ になる。 $u, v$ を入れ替えて $ν = \frac{X _{u} \times X _{v}}{∣ X _{u} \times X _{v} ∣}$ をとり直しただけでも向きが反転し $H$ の符号が変わる。 $K = \frac{1}{r ^{2}}$ は向きによらないが、 $H$ は単位法線の向きを決めてから答える。
曲率の積分で面積要素をつけ忘れ、 $\iint K d u d v$ を計算してしまう誤り。正しくは $\int K d A = \iint K E G - F^{2} d u d v$ （例えば半径 $r$ の球面全体で $\int K d A = \frac{1}{r ^{2}} \cdot 4 π r^{2} = 4 π$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$R^{3}$ 内の曲面を
$X (u, v) = (u, v, u^{2} + uv + 2 v^{2}) ((u, v) \in R^{2})$
で表し、 $R^{3}$ の標準内積から誘導される計量を入れる。単位法線ベクトルを $ν = \frac{X _{u} \times X _{v}}{∣ X _{u} \times X _{v} ∣}$ と定め、第二基本形式の係数を $L = X_{uu} \cdot ν, M = X_{uv} \cdot ν, N = X_{v v} \cdot ν$ とする。原点 $X (0, 0) = (0, 0, 0)$ におけるガウス曲率 $K$ と平均曲率 $H = \frac{E N - 2 F M + G L}{2 ( E G - F ^{2} )}$ を求め、組 $(K, H)$ の形で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

主曲率と主方向（大学院数学微分幾何）