微分幾何の問題

$F(x,y,z)=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+z^2-1$ とおくと $S=F^{-1}(0)$ で、$\nabla F=2N$, $N=\left(\frac{x}{9},\frac{y}{4},z\right)$ は $S$ 上で $0$ にならない。${\lambda }_1=\frac{1}{9},{\lambda }_2=\frac{1}{4},{\lambda }_3=1$ とおき、$q(X)={\lambda }_1{X}_1^2+{\lambda }_2{X}_2^2+{\lambda }_3{X}_3^2$ と書く（${\lambda }_1<{\lambda }_2<{\lambda }_3$）。

第二基本形式. 単位法線を内向きに $\nu =-N/|N|$ ととる（ガウス曲率は法線の向きによらない）。$P\in S$ を通る $S$ 上の曲線 $\gamma$ で $\gamma (0)=P$, ${\gamma }^{\prime }(0)=X$ となるものをとる。$F(\gamma (t))=0$ を $2$ 回微分すると
$$\nabla F\cdot {\gamma }^{\prime \prime }+\mathrm{Hess}F({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime })=0$$
となる。$\mathrm{Hess}F=\mathrm{diag}(2{\lambda }_1,2{\lambda }_2,2{\lambda }_3)$ であるから、$t=0$ で
$$\mathrm{II}(X,X)={\gamma }^{\prime \prime }(0)\cdot \nu =\frac{\mathrm{Hess}F(X,X)}{|\nabla F|}=\frac{q(X)}{|N|}(X\in T_{P}S=N^{\perp })$$
を得る。第一基本形式は $\mathrm{I}(X,X)=|X{|}^2$ である。

臍点の条件. $P$ が臍点であることは、ある $k$ について、平面 $T_{P}S$ 上で $q(X)=k|N||X{|}^2$ が成り立つことである。$c=k|N|$ とおくと、これは 2 次形式
$$Q_c(X)=({\lambda }_1-c)X_1^2+({\lambda }_2-c)X_2^2+({\lambda }_3-c)X_3^2$$
が $2$ 次元部分空間 $T_{P}S$ 上で恒等的に $0$ になることと同じである。

• $c$ がどの ${\lambda }_i$ とも異なると、$Q_c$ は非退化である。非退化な $3$ 変数 2 次形式が恒等的に $0$ となる部分空間の次元は、符号数を $(p,q)$ として $\min (p,q)\le 1$ 以下なので、不適である。
• $c={\lambda }_1$ のとき、$Q_c=({\lambda }_2-{\lambda }_1)X_2^2+({\lambda }_3-{\lambda }_1)X_3^2$ は半正定値で、零点は $X_1$ 軸だけ（$1$ 次元）なので不適である。$c={\lambda }_3$ のときも、$Q_c$ は半負定値で同様に不適である。

よって $c={\lambda }_2=\frac{1}{4}$ である。このとき $Q_c(X)=0$ は
$$\frac{5}{36}{X}_1^2=\frac{3}{4}{X}_3^2,\text{すなわち}{X}_3=\pm \sqrt{\frac{5}{27}}{X}_1$$
となる。零点の集合は $X_2$ 軸を含む $2$ 枚の平面の和集合である。$2$ 次元部分空間 $T_{P}S$ がこの和集合に含まれるので、$T_{P}S$ はどちらか一方の平面に一致する。平面 $X_3=\pm \sqrt{5/27}{X}_1$ の法線は $\left(\mp \sqrt{5/27},0,1\right)$ に比例するから、$N=\left(\frac{x}{9},\frac{y}{4},z\right)$ は次をみたす。
$$y=0,{\left(\frac{x}{9}\right)}^2=\frac{5}{27}{z}^2⟺x^2=15z^2$$

臍点の座標. これを $\frac{x^2}{9}+z^2=1$ に代入すると $\frac{15z^2}{9}+z^2=\frac{24}{9}{z}^2=1$ となる。よって $z^2=\frac{3}{8}$, $x^2=\frac{45}{8}$ である。臍点は
$$\left(\pm \frac{3\sqrt{10}}{4},0,\pm \frac{\sqrt{6}}{4}\right)$$
の $4$ 点（複号任意）である。

ガウス曲率. 臍点では
$$|N{|}^2=\frac{x^2}{81}+z^2=\frac{45}{648}+\frac{3}{8}=\frac{5}{72}+\frac{27}{72}=\frac{4}{9}$$
より $|N|=\frac{2}{3}$ である。主曲率（共通の値）は
$$k=\frac{c}{|N|}=\frac{1/4}{2/3}=\frac{3}{8}$$
となる。したがって
$$K(P)=k^2=\frac{9}{64}$$
である。これは $4$ つの臍点すべてで同じ値である。

（参考：一般に $a>b>c$ の楕円面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ の臍点での主曲率は $\frac{ac}{b^3}$ であり、$a=3,b=2,c=1$ で $\frac{3}{8}$ と一致する。）

楕円面 $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$ ($a=3,b=2,c=1$) のガウス曲率は、原点から接平面までの距離を $p$ として
$$K=\frac{1}{a^2{b}^2{c}^2{\left(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}\right)}^2}$$
で与えられる（球で $K=1/r^2$ となり確認できる）。

臍点は $a>b>c$ のとき $y=0$ 上の4点で、
$$x^2=\frac{a^2(a^2-b^2)}{a^2-c^2}=\frac{9\cdot 5}{8}=\frac{45}{8},z^2=\frac{c^2(b^2-c^2)}{a^2-c^2}=\frac{3}{8}$$
である。確認すると $x^2/9+z^2=5/8+3/8=1$ となり、$S$ 上の点である。

計算すると
$$\frac{x^2}{a^4}+\frac{z^2}{c^4}=\frac{45/8}{81}+\frac{3}{8}=\frac{5}{72}+\frac{27}{72}=\frac{4}{9}.$$
よって
$$K=\frac{1}{36\cdot (4/9{)}^2}=\frac{81}{36\cdot 16}=\frac{9}{64}.$$

検算：一般に臍点では $p=ac/b=3/2$ であり、$K=p^4/(abc{)}^2=a^2{c}^2/b^6=9/64$ となって一致する。主曲率は $3/8$ で、その2乗が $9/64$ である。