主曲率と主方向

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面を
$$X(u,v)=\left(u,v,u^2+4uv+v^2\right)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
で表し、${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。単位法線ベクトルを $\nu =\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}$ と定める。原点 $X(0,0)=(0,0,0)$ における主曲率を ${\kappa }_1,{\kappa }_2$（${\kappa }_1\ge {\kappa }_2$）とするとき、組 $({\kappa }_1,{\kappa }_2)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の常螺旋面（ヘリコイド）を
$$X(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
でパラメータ表示する。点 $X(\sqrt{3},0)=(\sqrt{3},0,0)$ における主曲率全体の集合を求めよ。ただし単位法線ベクトルは $\nu =\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}$ とする。

$S_1,S_2\subset {\mathbb{R}}^3$ を $C^{\infty }$ 級の正則曲面とし、$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma :I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた $C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in S_1\cap S_2$ を満たすものとする。$\gamma$ の（空間曲線としての）曲率 $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ はすべての $s\in I$ で $\kappa (s)>0$ であるとする。

用語を次のように定める（$k=1,2$）。
- $\gamma$ が $S_k$ の測地線であるとは、すべての $s\in I$ で ${\gamma }^{\prime \prime }(s)$ が接平面 $T_{\gamma (s)}{S}_k$ に直交することをいう。
- $\gamma$ が $S_k$ の曲率線であるとは、$\gamma$ に沿う $S_k$ のある $C^{\infty }$ 級の単位法ベクトル場 $N:I\to {\mathbb{R}}^3$（各 $s$ で $|N(s)|=1$ かつ $N(s)\perp T_{\gamma (s)}{S}_k$）が存在して、すべての $s\in I$ で $N^{\prime }(s)$ が ${\gamma }^{\prime }(s)$ の実数倍になることをいう。

$\gamma$ が $S_1$ の測地線であり、かつ $S_2$ の測地線でもあるとする。このとき、すべての $s\in I$ で $T_{\gamma (s)}{S}_1=T_{\gamma (s)}{S}_2$ が成り立ち、さらに「$\gamma$ が $S_1$ の曲率線である」ことと「$\gamma$ が $S_2$ の曲率線である」ことが同値であることを証明せよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=x{y}^2\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ 上の点 $P=(1,1,1)$ における $S$ の主曲率を ${\kappa }_1,{\kappa }_2$ とするとき、$|{\kappa }_1-{\kappa }_2|$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の楕円面
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+z^2=1\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ 上の点 $P$ で、$2$ つの主曲率が一致するとき（すなわち $P$ における第二基本形式が第一基本形式の定数倍であるとき）、$P$ を $S$ の臍点という。$S$ の臍点 $P$ を $1$ つとり、$P$ における $S$ のガウス曲率 $K(P)$ を求めよ（この値は臍点 $P$ の取り方によらない）。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面（エネパー曲面）を
$$X(u,v)=\left(u-\frac{u^3}{3}+u{v}^2,v-\frac{v^3}{3}+u^{2}v,u^2-v^2\right)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
でパラメータ表示し、${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。各点でのガウス曲率を $K$、平均曲率を $H$（主曲率 ${\kappa }_1,{\kappa }_2$ に対して $H=\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2}{2}$）とする。第一基本形式を $Ed{u}^2+2Fdudv+Gd{v}^2$ とし、面積要素を $dA=\sqrt{EG-F^2}dudv$ とする。パラメータ領域
$$D=\{(u,v)\in {\mathbb{R}}^2\mid u^2+v^2\le 1\}$$
上の積分
$${\iint }_D\left(H^2-K\right)dA$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面
$$S=\{(x,y,xy)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2\le 1\}$$
を考える。$S$ の各点における主曲率を ${\kappa }_1,{\kappa }_2$ とし、ガウス曲率を $K={\kappa }_1{\kappa }_2$、平均曲率を $H=\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2}{2}$ とする。$dA$ を $S$ の面積要素とするとき、
$${\iint }_S(H^2-K)dA$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内のトーラス
$$T=\left\{\left((3+\cos v)\cos u,(3+\cos v)\sin u,\sin v\right)|u,v\in \mathbb{R}\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$T$ の平均曲率を $H=\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2}{2}$（${\kappa }_1,{\kappa }_2$ は主曲率）、面積要素を $dA$ とするとき、
$${\int }_T{H}^{2}dA$$
の値を求めよ。

$S\subset {\mathbb{R}}^3$ を空でないコンパクトな $C^{\infty }$ 級正則曲面（境界をもたない 2 次元部分多様体）とし、$R>0$ を定数とする。$S$ は原点を中心とする半径 $R$ の閉球に含まれる、すなわちすべての $p\in S$ で $|p|\le R$ であるとする。

各点 $p\in S$ の近くで単位法ベクトル場 $N$ を 1 つ選び、第二基本形式を ${\mathrm{II}}_p(v)=-⟨d{N}_p(v),v⟩$（$v\in T_{p}S$）、ガウス曲率を $K(p)=\det (-d{N}_p)$ と定める（$K(p)$ は $N$ の向きの選び方によらない）。次の事実は用いてよい。
- $S$ 上の $C^{\infty }$ 級の曲線 $\alpha$ が弧長でパラメータ付けられ $\alpha (0)=p$ ならば、${\mathrm{II}}_p({\alpha }^{\prime }(0))=⟨{\alpha }^{\prime \prime }(0),N(p)⟩$ が成り立つ。
- $T_{p}S$ の単位ベクトル $v$ を動かしたときの ${\mathrm{II}}_p(v)$ の最大値 $k_1$ と最小値 $k_2$（主曲率）について $K(p)=k_1{k}_2$ が成り立つ。

このとき、$K(p_0)\ge \frac{1}{R^2}$ を満たす点 $p_0\in S$ が存在することを証明せよ。