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微分幾何の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学微分幾何

$R^{3}$ 内の常螺旋面（ヘリコイド）を
$X (u, v) = (u cos v, u sin v, v) ((u, v) \in R^{2})$
でパラメータ表示する。点 $X (3, 0) = (3, 0, 0)$ における主曲率全体の集合を求めよ。ただし単位法線ベクトルは $ν = \frac{X _{u} \times X _{v}}{∣ X _{u} \times X _{v} ∣}$ とする。

この問題で使うもの

第一基本形式とリーマン計量（説明と入口の問題）
第二基本形式と法曲率（説明と入口の問題）
主曲率と主方向（説明と入口の問題）
空間ベクトルの外積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（85 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$X_{u}, X_{v}$ から第一基本形式の係数 $E, F, G$ を、さらに $X_{uu}, X_{uv}, X_{v v}$ と単位法線 $ν$ から第二基本形式の係数 $L, M, N$ を求めよう。

ヒント 2

$E = 1, F = 0, G = 1 + u^{2}$ 、 $L = N = 0, M = - 1/ 1 + u^{2}$ となる。主曲率は $det (II - κ I) = 0$ の解である。

ヒント 3

方程式は $κ^{2} (1 + u^{2}) - \frac{1}{1 + u ^{2}} = 0$ となる。この点での $u$ の値を代入しよう。

答えと解説

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{- \frac{1}{4}, \frac{1}{4}}

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解説を読む

第一基本形式。
$X_{u} = (cos v, sin v, 0), X_{v} = (- u sin v, u cos v, 1)$
より
$E = X_{u} \cdot X_{u} = 1, F = X_{u} \cdot X_{v} = 0, G = X_{v} \cdot X_{v} = u^{2} + 1.$

単位法線。
$X_{u} \times X_{v} = (sin v \cdot 1 - 0, 0 - cos v \cdot 1, u cos^{2} v + u sin^{2} v) = (sin v, - cos v, u),$
$∣ X_{u} \times X_{v} ∣ = 1 + u^{2}$ なので $ν = \frac{( sin v , - cos v , u )}{1 + u ^{2}}$ 。

第二基本形式。
$X_{uu} = (0, 0, 0), X_{uv} = (- sin v, cos v, 0), X_{v v} = (- u cos v, - u sin v, 0)$
より
$L = X_{uu} \cdot ν = 0, M = X_{uv} \cdot ν = \frac{- sin ^{2} v - cos ^{2} v}{1 + u ^{2}} = - \frac{1}{1 + u ^{2}}, N = X_{v v} \cdot ν = \frac{- u cos v sin v + u sin v cos v}{1 + u ^{2}} = 0.$

主曲率。 主曲率 $κ$ は $det (L - κ E M - κ F M - κ F N - κ G) = 0$ の解である。代入すると
$det (- κ M M - κ (1 + u^{2})) = κ^{2} (1 + u^{2}) - M^{2} = κ^{2} (1 + u^{2}) - \frac{1}{1 + u ^{2}} = 0,$
よって $κ = \pm \frac{1}{1 + u ^{2}}$ 。

点 $(3, 0, 0)$ は $u = 3, v = 0$ に対応し、 $1 + u^{2} = 4$ なので主曲率は $\pm \frac{1}{4}$ 。求める集合は
${- \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} .$
（このときガウス曲率は $K = - \frac{1}{16}$ 、平均曲率は $H = 0$ である。）

別解

$X_{u} = (cos v, sin v, 0)$ 、 $X_{v} = (- u sin v, u cos v, 1)$ 。 $E = 1$ 、 $F = 0$ 、 $G = 1 + u^{2}$ 。 $X_{u} \times X_{v} = (sin v, - cos v, u)$ 、 $∣ X_{u} \times X_{v} ∣ = 1 + u^{2}$ なので $ν = (sin v, - cos v, u) / 1 + u^{2}$ 。2 階微分: $X_{uu} = 0$ 、 $X_{uv} = (- sin v, cos v, 0)$ 、 $X_{v v} = (- u cos v, - u sin v, 0)$ 。 $L = 0$ 、 $M = X_{uv} \cdot ν = (- sin^{2} v - cos^{2} v) / 1 + u^{2} = - 1/ 1 + u^{2}$ 、 $N = X_{v v} \cdot ν = (- u sin v cos v + u sin v cos v) / 1 + u^{2} = 0$ 。\n\n $K = \frac{L N - M ^{2}}{E G - F ^{2}} = - \frac{1}{( 1 + u ^{2} ) ^{2}}$ 、 $H = \frac{E N - 2 F M + G L}{2 ( E G - F ^{2} )} = 0$ （極小曲面）。主曲率 $k$ は $k^{2} - 2 H k + K = 0$ の解なので $k = \pm \frac{1}{1 + u ^{2}}$ 。 $u = 3$ で $\pm \frac{1}{4}$ 。検算: $K = - \frac{1}{16} = (\frac{1}{4}) (- \frac{1}{4})$ ✓。

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