微分幾何の問題

$n$ を正の整数とし、$M$ を境界をもたない、コンパクトで連結な、向き付けられた $2n$ 次元 $C^{\infty }$ 級多様体とする。$\omega$ を $M$ 上の $C^{\infty }$ 級の 2 次微分形式で、$d\omega =0$ を満たし、かつ $2n$ 次形式 ${\omega }^n=\underset{n}{\underbrace{\omega \wedge \cdots \wedge \omega }}$ が $M$ のどの点でも $0$ にならないものとする（${\omega }^0=1$ と約束する）。

このとき、各 $k=1,2,\dots ,n$ に対して ${\omega }^k$ は完全形式でない、すなわち ${\omega }^k=d\beta$ を満たす $M$ 上の $C^{\infty }$ 級 $(2k-1)$ 次形式 $\beta$ は存在しないことを証明せよ。

なお、境界をもたないコンパクトな向き付けられた $m$ 次元多様体上の $C^{\infty }$ 級 $(m-1)$ 次形式 $\eta$ に対するストークスの定理 ${\int }_{M}d\eta =0$ と、外微分の性質 $d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1{)}^p\alpha \wedge d\beta$（$\alpha$ は $p$ 次形式）、および 1 の分割の存在は用いてよい。

$a>0$ を定数とし、円柱面 $Z=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x^2+y^2=a^2\}$ を考える。$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma =({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3):I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた（すべての $s$ で $|{\gamma }^{\prime }(s)|=1$ の）$C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in Z$ を満たすものとし、その曲率を $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ とする。

なお、$C^{\infty }$ 級の写像 $\sigma :I\to {\mathbb{R}}^2$ がすべての $s$ で $|\sigma (s)|=a$ を満たすならば、$C^{\infty }$ 級の関数 $\theta :I\to \mathbb{R}$ があって $\sigma (s)=(a\cos \theta (s),a\sin \theta (s))$ と書けることは用いてよい。

次の 2 つを証明せよ。
- すべての $s\in I$ で $\kappa (s)\ge \frac{1-{\gamma }_3^{\prime }(s{)}^2}{a}$ が成り立つ。
- この不等式の等号がすべての $s\in I$ で成り立つための必要十分条件は、${\omega }^2{a}^2+c^2=1$ を満たす実数の定数 $c,\omega$ と実数の定数 $\phi ,d$ があって、すべての $s\in I$ で
$$\gamma (s)=(a\cos (\omega s+\phi ),a\sin (\omega s+\phi ),cs+d)$$
と書けることである。

$S_1,S_2\subset {\mathbb{R}}^3$ を $C^{\infty }$ 級の正則曲面とし、$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma :I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた $C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in S_1\cap S_2$ を満たすものとする。$\gamma$ の（空間曲線としての）曲率 $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ はすべての $s\in I$ で $\kappa (s)>0$ であるとする。

用語を次のように定める（$k=1,2$）。
- $\gamma$ が $S_k$ の測地線であるとは、すべての $s\in I$ で ${\gamma }^{\prime \prime }(s)$ が接平面 $T_{\gamma (s)}{S}_k$ に直交することをいう。
- $\gamma$ が $S_k$ の曲率線であるとは、$\gamma$ に沿う $S_k$ のある $C^{\infty }$ 級の単位法ベクトル場 $N:I\to {\mathbb{R}}^3$（各 $s$ で $|N(s)|=1$ かつ $N(s)\perp T_{\gamma (s)}{S}_k$）が存在して、すべての $s\in I$ で $N^{\prime }(s)$ が ${\gamma }^{\prime }(s)$ の実数倍になることをいう。

$\gamma$ が $S_1$ の測地線であり、かつ $S_2$ の測地線でもあるとする。このとき、すべての $s\in I$ で $T_{\gamma (s)}{S}_1=T_{\gamma (s)}{S}_2$ が成り立ち、さらに「$\gamma$ が $S_1$ の曲率線である」ことと「$\gamma$ が $S_2$ の曲率線である」ことが同値であることを証明せよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、リーマン計量
$$g=dx\otimes dx+(1+4x^2)dy\otimes dy-4x(dy\otimes dz+dz\otimes dy)+4dz\otimes dz$$
を入れる（すなわち $g_{xx}=1,g_{yy}=1+4x^2,g_{yz}=g_{zy}=-4x,g_{zz}=4$ で、その他の成分は $0$）。$g$ のレヴィ・チヴィタ接続に関する断面曲率を考え、原点 $O=(0,0,0)$ における接空間 $T_O{\mathbb{R}}^3$ のすべての $2$ 次元部分空間 $\sigma$ にわたる断面曲率 $K(\sigma )$ の最小値 $m$ と最大値 $M$ を、組 $(m,M)$ の形でこの順に求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の円錐面
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z=4\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2},z>0\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$\gamma :\mathbb{R}\to S$ を、$\gamma (0)=(1,0,4\sqrt{3})$、${\gamma }^{\prime }(0)=(0,1,0)$ を満たす弧長パラメータ付きの測地線とする（$\gamma$ は $\mathbb{R}$ 全体で定義される）。$S$ の点のうち、$\gamma$ が $2$ 回以上通過する点、すなわち $\gamma (s_1)=\gamma (s_2)$ となる $s_1\ne s_2$ が存在する点 $p\in S$ の個数を求めよ。