微分幾何の問題

初期条件の確認. $\gamma (0)=(2,0,\sqrt{3})$ は $4-3=1$ より $S$ 上にある。$S$ の法線は $(x,y,-z)$ に比例し、$\gamma (0)$ では $(2,0,-\sqrt{3})$。${\gamma }^{\prime }(0)\cdot (2,0,-\sqrt{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=0$ なので ${\gamma }^{\prime }(0)$ は接ベクトルで、$|{\gamma }^{\prime }(0){|}^2=\frac{3}{16}+\frac{9}{16}+\frac{4}{16}=1$ より単位ベクトルである。

クレローの関係式. $S$ は $z$ 軸のまわりの回転面である。回転面の測地線では、$r=\sqrt{x^2+y^2}$（軸からの距離）と、測地線が緯線（平行円）となす角 $\psi$ について
$$r\cos \psi =c(\text{一定})$$
が成り立つ（クレローの関係式）。これは、回転のキリングベクトル場 $V=(-y,x,0)$ と測地線の速度の内積 $⟨{\gamma }^{\prime },V⟩=x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }$ が測地線に沿って保存されることと同じである。実際、測地線では ${\gamma }^{\prime \prime }$ は $S$ の法線方向、すなわち $(x,y,-z)$ に平行なので
$$\frac{d}{ds}(x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime })=x{y}^{\prime \prime }-y{x}^{\prime \prime }=0$$
となる（${\gamma }^{\prime \prime }=\mu (x,y,-z)$ を代入すると $x\cdot \mu y-y\cdot \mu x=0$）。

$s=0$ で
$$c=x(0)y^{\prime }(0)-y(0)x^{\prime }(0)=2\cdot \frac{3}{4}-0=\frac{3}{2}.$$

到達できる範囲. $V$ の長さは $r$ なので $|x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }|=|⟨{\gamma }^{\prime },V⟩|\le r$。よって常に $r(s)\ge c=\frac{3}{2}$、すなわち
$$z(s{)}^2=r(s{)}^2-1\ge \frac{9}{4}-1=\frac{5}{4}.$$

実際に到達すること. $z^{\prime }(0)=-\frac{1}{2}<0$ なので、$\gamma$ は最初 $z$ が減る向き（$r$ が減る向き）に進む。${\gamma }^{\prime }$ を緯線方向と経線方向に分けると、緯線方向成分は $c/r$、経線方向成分の大きさは $\sqrt{1-c^2/r^2}$ である。$r>c$ である限り経線方向成分は $0$ でなく、その符号は経線方向成分が $0$ になる点、すなわち $r=c$ に達するまで変わらない。経線の弧長を $\sigma$ とすると $\left|\frac{d\sigma }{ds}\right|=\sqrt{1-c^2/r^2}$ であり、$r=\frac{3}{2}$ の近くでこの量は $\sqrt{r-c}$ 程度にしか小さくならないので、$r=c$ には有限の弧長で到達する。到達点で $\gamma$ は緯線 $r=\frac{3}{2}$ に接するが、この緯線は（$\frac{dr}{dz}\ne 0$ なので）測地線ではないから、$\gamma$ はそこで向きを変え、再び $r$ が増える向きに進む。$S$ は ${\mathbb{R}}^3$ の閉集合なので完備であり、$\gamma$ は $s\in \mathbb{R}$ 全体で定義される。

したがって $s\ge 0$ における $z(s)$ は、$\sqrt{3}$ から減少して $r=\frac{3}{2}$ のとき $z=\sqrt{\frac{9}{4}-1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ に達し、その後は増加する。また $r\ge \frac{3}{2}>1$ より $\gamma$ は $z>0$ の側から出ず、$z\ge \frac{\sqrt{5}}{2}$ が常に成り立つ。

よって最小値は
$$\frac{\sqrt{5}}{2}.$$

$S$ は $z$ 軸まわりの回転面で、$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1+z^2}$。

初期条件の確認: $|{\gamma }^{\prime }(0){|}^2=\frac{3}{16}+\frac{9}{16}+\frac{1}{4}=1$。法線 $\nabla (x^2+y^2-z^2)=(4,0,-2\sqrt{3})$ との内積は $-\sqrt{3}+\sqrt{3}=0$ で接している。

回転対称性から、測地線に沿って角運動量 $c=r^2{\theta }^{\prime }=x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }$ が保存する（クレローの関係式）。$s=0$ で $c=2\cdot \frac{3}{4}-0=\frac{3}{2}$。

速さ 1 の条件は $r^{\prime 2}+z^{\prime 2}+r^2{\theta }^{\prime 2}=1$、すなわち $r^{\prime 2}+z^{\prime 2}+\frac{c^2}{r^2}=1$。$r^2=1+z^2$ より $r{r}^{\prime }=z{z}^{\prime }$ なので $r^{\prime }=\frac{z{z}^{\prime }}{r}$。よって
$$z^{\prime 2}\left(1+\frac{z^2}{1+z^2}\right)+\frac{c^2}{1+z^2}=1⟹z^{\prime 2}=\frac{1+z^2-c^2}{1+2z^2}=\frac{z^2-\frac{5}{4}}{1+2z^2}.$$

検算: $z=\sqrt{3}$ で $z^{\prime 2}=\frac{3-5/4}{7}=\frac{1}{4}$ となり、初期値 $z^{\prime }(0)=-\frac{1}{2}$ と一致する。

$z(0)=\sqrt{3}>0$ かつ $z^{\prime }(0)<0$ なので $z$ は減少する。$z$ は $z^2=\frac{5}{4}$ に達する（そこで $z^{\prime }=0$）。$z^2-\frac{5}{4}$ は $z=\frac{\sqrt{5}}{2}$ で単純零点をもつので有限の $s$ で到達し、そこで折り返す（$z\ge \frac{\sqrt{5}}{2}$ を保つ。$z^{\prime 2}\ge 0$ より $z^2\ge \frac{5}{4}$ が常に成り立つ）。$z$ が連続で $z>0$ の枝にとどまる（$z^2\ge \frac{5}{4}$ のため $z=0$ をまたげない）ので、最小値は $z=\frac{\sqrt{5}}{2}$。