回転面の測地線とクレローの関係式

回転面の測地線について、回転軸からの距離 $r$ と子午線とのなす角 $θ$ が $r sin θ =$ 一定を満たすこと（クレローの関係式）を使える。初期の位置と向きから、測地線が到達できる $r$ の最小値（ $z$ 座標の最小値など）を求められる

前提

クリストッフェル記号と測地線の方程式（大学院数学微分幾何）

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算数中学高校大学大学院

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クリストッフェル記号と測地線の方程式（大学院数学微分幾何）

説明

回転面（曲線を軸のまわりに回してできる曲面）の上の測地線では、回転軸からの距離 $r$ と、進む向きが子午線（軸を含む平面での切り口の曲線）となす角 $θ$ について、 $r sin θ$ が一定に保たれます。これをクレローの関係式といいます。測地線の方程式を解かなくても、出発点での位置と向きだけから $r sin θ$ の値 $c$ がわかり、 $sin θ \leq 1$ から測地線が $r < c$ の部分には入れないことがわかります。これを使って、測地線が届く $r$ の最小値や、それに対応する $z$ 座標の最小値を求めます。

なぜそうしてよいのか

回転面を $X (s, φ) = (r (s) cos φ, r (s) sin φ, z (s))$ と表し、母線 $(r (s), z (s))$ は弧長 $s$ でパラメータ表示されている（ $r^{'2} + z^{'2} = 1$ ）とし、 $r (s) > 0$ とします。 $X_{s} = (r^{'} cos φ, r^{'} sin φ, z^{'})$ 、 $X_{φ} = (- r sin φ, r cos φ, 0)$ から $E = 1, F = 0, G = r (s)^{2}$ です。 $F = 0$ の公式で $Γ_{φφ}^{s} = - \frac{G _{s}}{2 E} = - r r^{'}$ 、 $Γ_{s φ}^{φ} = Γ_{φ s}^{φ} = \frac{G _{s}}{2 G} = \frac{r ^{'}}{r}$ 、ほかは $0$ なので、測地線 $t \mapsto (s (t), φ (t))$ の方程式は
$s ¨ - r r^{'} φ ˙^{2} = 0, φ ¨ + \frac{2 r ^{'}}{r} s ˙ φ ˙ = 0$
です。第 2 式に $r^{2}$ をかけると $r^{2} φ ¨ + 2 r r^{'} s ˙ φ ˙ = \frac{d}{d t} (r^{2} φ ˙) = 0$ （ $\frac{d}{d t} r (s (t)) = r^{'} s ˙$ に注意）なので、 $r^{2} φ ˙$ は測地線に沿って一定です。

この量を角度で読みかえます。測地線を弧長でパラメータ表示すると速度 $γ ˙ = s ˙ X_{s} + φ ˙ X_{φ}$ は単位ベクトルで、 $X_{s}$ は子午線方向の単位ベクトル、 $X_{φ}$ は緯線方向で長さ $r$ 、しかも $X_{s} ⊥ X_{φ}$ なので $s ˙^{2} + r^{2} φ ˙^{2} = 1$ です。ここでは $θ$ を、速度が子午線（向きを考えない直線としての接線）となす角、つまり $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ の角と定めます。すると $∣ s ˙ ∣ = cos θ$ 、 $r ∣ φ ˙ ∣ = sin θ$ で、子午線に沿って上下どちらへ進むかは $s ˙$ の符号で別に表します。よって $r sin θ = r^{2} ∣ φ ˙ ∣ =$ 一定、これがクレローの関係式です（ $θ$ を $X_{s}$ の向きとのなす角 $0 \leq θ \leq π$ としても、 $sin θ$ は同じ値なので式は変わりません）。

一定値を $c = r_{0} sin θ_{0} (\geq 0)$ とおくと、測地線上では $sin θ = \frac{c}{r} \leq 1$ なので $r \geq c$ が常に成り立ちます。 $r = c$ となるのは $θ = \frac{π}{2}$ 、つまり測地線が緯線に接する瞬間です。 $s ˙^{2} = 1 - \frac{c ^{2}}{r ^{2}}$ なので、 $r > c$ の間は $s ˙ \neq = 0$ で $s$ は単調に動きます。 $r$ が減る向きに出発し、さらに出発点から $r = c$ に達するまでの母線の区間で $r^{'} (s)$ が符号を変えない（ $r^{'} = 0$ の点がない）なら、 $r$ は $c$ まで単調に減り、有限の時間で $r = c$ に達して緯線に接し、折り返して $r$ が増え始めます。この場合の $r$ の最小値は $c$ です。一方、その途中に $r^{'} = 0$ の点（くびれ）があるときは、 $s$ が単調に進むうちに $r$ が増加に転じるので、 $r = c$ には達せず、 $r$ の最小値はそのくびれでの $r$ （ $c$ より大きい）になり得ます（くびれで $r = c$ となる場合は、限りなく近づくだけのこともあります）。なお、クレローの関係式は測地線であるための必要条件で、例えば緯線は $r, θ$ ともに一定なので式を満たしますが、第 1 式から測地線になるのは $r^{'} = 0$ の緯線だけです。

手順

回転面を $X (s, φ) = (r (s) cos φ, r (s) sin φ, z (s))$ の形で見て、各点の回転軸からの距離 $r$ を $z$ などで表す。母線に $r^{'} = 0$ の点があるかも調べる
出発点での $r_{0}$ と、出発する向きが子午線となす角 $θ_{0}$ （ $0 \leq θ_{0} \leq \frac{π}{2}$ ）を求め、 $c = r_{0} sin θ_{0}$ を計算する
クレローの関係式 $r sin θ = c$ と $sin θ \leq 1$ から、測地線上では $r \geq c$ 。 $r = c$ になるのは測地線が緯線に接するとき（ $θ = \frac{π}{2}$ ）
出発の向きが $r$ の減る側で、 $r = c$ に達するまでの間に $r^{'} = 0$ の点がなければ $r_{m i n} = c$ 。 $r$ が増える側に出発し、その先 $r$ が単調に増えるなら $r_{m i n} = r_{0}$ 。途中にくびれがあれば、そこでの $r$ と比べる
得られた $r$ の最小値を、問われている量（ $z$ 座標など）に換算する

例題

回転放物面 $z = x^{2} + y^{2}$ 上の点 $(2, 0, 4)$ から、子午線と $\frac{π}{3}$ の角をなし、 $z$ が減少する向きに出発する測地線を考える。この測地線上の点の $z$ 座標の最小値を求めよ。

例題の解答

手順 1: 回転軸は $z$ 軸で、点 $(x, y, z)$ の軸からの距離は $r = x^{2} + y^{2} = z$ 、つまり $z = r^{2}$ 。母線 $z = r^{2} (r > 0)$ は $\frac{d z}{d r} = 2 r \neq = 0$ で、 $r$ の増える向きに弧長 $s$ をとると $r^{'} (s) > 0$ がどこでも成り立つ（ $r^{'} = 0$ の点、つまりくびれはない）。また $z$ が減ることと $r$ が減ることは同じ。

手順 2: 出発点 $(2, 0, 4)$ で $r_{0} = 2$ 。 $θ$ は子午線（向きを考えない直線）とのなす角 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ と定めたので、問題文の角がそのまま $θ_{0} = \frac{π}{3}$ となる。 $z$ が減る向きであることは $s ˙ < 0$ として別に扱う。（ $X_{s}$ の向き、すなわち $z$ が増える向きとのなす角で測るなら $\frac{2 π}{3}$ だが、 $sin \frac{2 π}{3} = sin \frac{π}{3}$ なので $c$ は同じ。）
$c = r_{0} sin θ_{0} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 .$

手順 3: クレローの関係式 $r sin θ = 3$ と $sin θ \leq 1$ から、測地線上では常に $r \geq 3$ 。

手順 4: $r$ が減る向き（ $s ˙ < 0$ ）に出発し、母線には $r^{'} = 0$ の点がないので、 $r$ は $3$ まで単調に減り、 $r = 3$ で緯線に接して（ $θ = \frac{π}{2}$ ）折り返す。よって $r$ の最小値はちょうど $3$ 。

手順 5: $z = r^{2}$ より、 $z$ の最小値は $(3)^{2} = 3$ 。

答え: $3$

よくある誤り

$θ$ を緯線とのなす角と取り違えて $c = r_{0} cos θ_{0}$ としてしまう誤り。例題では $c = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ 、 $z_{m i n} = 1$ と誤る。クレローの関係式の $θ$ は子午線とのなす角で、正しくは $c = r_{0} sin θ_{0} = 3$ 。
$r$ の最小値をそのまま $z$ の最小値として答えてしまう誤り。例題では $r_{m i n} = 3$ だが、問われているのは $z$ なので、母線の式 $z = r^{2}$ で換算して $z_{m i n} = 3$ 。
出発の向きを確かめずに、いつでも $r = c$ まで下がると考えてしまう誤り。例題と同じ点・同じ角度でも $z$ が増加する向きに出発すると、 $s ˙^{2} = 1 - \frac{c ^{2}}{r ^{2}}$ は $r = c$ でしか $0$ にならず、母線で $r^{'} > 0$ なので $r$ は増え続け、最小値は出発点の $r_{0} = 2$ （ $z = 4$ ）になる。また、 $r$ が減る側に出発しても途中にくびれ（ $r^{'} = 0$ の点）があれば $r$ はそこで増加に転じ、 $r_{m i n} > c$ となり得る。
$r sin θ =$ 一定を満たせば測地線だと思ってしまう誤り。緯線は $r$ 一定・ $θ = \frac{π}{2}$ で式を満たすが、測地線の方程式の第 1 式 $s ¨ - r r^{'} φ ˙^{2} = 0$ から測地線になるのは $r^{'} = 0$ の緯線だけ（回転放物面の緯線はどれも測地線でない）。クレローの関係式は必要条件として使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$R^{3}$ 内の回転面
$S = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x^{2} + y^{2} = e^{2 z}}$
（ $z$ 軸のまわりの回転面で、回転軸からの距離は $r = x^{2} + y^{2} = e^{z}$ ）に $R^{3}$ の標準内積から誘導される計量を入れる。 $S$ 上の点 $P = (1, 0, 0)$ において、 $z$ が減少する向きで、子午線とのなす角が $\frac{π}{6}$ である単位接ベクトルを $v$ とする。弧長をパラメータとする測地線 $γ : [0, \infty) \to S$ で $γ (0) = P$ , $γ^{'} (0) = v$ を満たすものを考える（ $S$ は $R^{3}$ の閉集合なので完備であり、このような $γ$ はただ 1 つ存在する）。 $γ$ 上の点の $z$ 座標の最小値、すなわち $s \geq 0 min z (γ (s))$ を求めよ。

回転面の測地線とクレローの関係式

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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