微分幾何の問題

座標と計量. $S$ を $(r\cos \phi ,r\sin \phi ,\log r)$（$r>0$）と表す。$z=\log r$ より $dz=\frac{dr}{r}$ なので、誘導計量は
$$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\phi }^2+d{z}^2=\frac{1+r^2}{r^2}d{r}^2+r^{2}d{\phi }^2.$$

クレローの関係式. 回転面上の測地線では、回転軸からの距離 $r$ と、測地線が子午線となす角 $\theta$ について
$$r\sin \theta =\text{一定}$$
が成り立つ。弧長パラメータでは、速度ベクトルの緯線方向の成分が $\sin \theta$ で、$|{\partial }_{\phi }|=r$ なので $r{\phi }^{\prime }=\sin \theta$、すなわち $r^2{\phi }^{\prime }=r\sin \theta$ である（$\phi$ が計量に現れないことから出る保存量）。

定数の決定. 出発点 $P=(1,0,0)$ では $r=1$、$\theta =\frac{\pi }{6}$ なので
$$c:=r\sin \theta =1\cdot \sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}.$$

$r$ の下界. $|\sin \theta |\le 1$ なので、$\gamma$ 上では常に $r=\frac{c}{\sin \theta }\ge c=\frac{1}{2}$ である。

$r$ の満たす微分方程式. 弧長パラメータなので
$$\frac{1+r^2}{r^2}{r}^{\prime 2}+r^2{\phi }^{\prime 2}=1.$$
$r^2{\phi }^{\prime }=c$ を代入すると $\frac{1+r^2}{r^2}{r}^{\prime 2}=1-\frac{c^2}{r^2}=\frac{r^2-c^2}{r^2}$ より
$$r^{\prime 2}=\frac{r^2-c^2}{1+r^2}.$$

下界 $r=\frac{1}{2}$ に有限の弧長で達すること. 出発時は $z$ が減少する向きなので $r^{\prime }(0)<0$（実際 $r^{\prime }(0{)}^2=\frac{1-1/4}{2}=\frac{3}{8}$）。$r>c$ である間は $r^{\prime 2}>0$ なので $r^{\prime }\ne 0$ であり、$r^{\prime }$ は連続だから $r^{\prime }<0$ のままで、
$$r^{\prime }=-\sqrt{\frac{r^2-c^2}{1+r^2}}.$$
したがって $r$ は狭義単調に減少し、$r=1$ から $r=\rho (c<\rho <1)$ に達するまでの弧長は
$$s(\rho )={\int }_{\rho }^1\sqrt{\frac{1+r^2}{r^2-c^2}}dr\le \sqrt{2}{\int }_c^1\frac{dr}{\sqrt{r^2-c^2}}=\sqrt{2}\log \frac{1+\sqrt{1-c^2}}{c}=\sqrt{2}\log (2+\sqrt{3})$$
で、上から一様に抑えられる（$c\le r\le 1$ で $1+r^2\le 2$ を使った）。もし $r$ がいつまでも $c$ に達しないとすると、$r$ は単調減少で下に有界なのである値 $L\ge c$ に収束するが、$L>c$ なら $r^{\prime }\to -\sqrt{\frac{L^2-c^2}{1+L^2}}\ne 0$ となり有界性に反し、$L=c$ なら $r$ が $c$ に近づくのに要する弧長は上の有限値 $s_0={\int }_c^1\sqrt{\frac{1+r^2}{r^2-c^2}}dr$ 以下なので、$s=s_0$ で $r=c$ となって矛盾する。よって $\gamma$ は弧長 $s_0<\infty$ で $r=c=\frac{1}{2}$ に達する。$\gamma$ は $[0,\infty )$ 全体で定義されているので、この点は $\gamma$ 上にある。

（補足: $r^{\prime 2}=\frac{r^2-c^2}{1+r^2}$ を微分すると $r^{\prime \prime }=\frac{r(1+c^2)}{(1+r^2{)}^2}>0$ となり、$r=c$ の点で $r^{\prime }=0$, $r^{\prime \prime }>0$ なので、$\gamma$ はそこで緯線に接して折り返し、再び $r$ が増加する。半径 $\frac{1}{2}$ の緯線自身は測地線ではない。）

$z$ の最小値. 以上より $\gamma$ 上の $r$ の最小値は $\frac{1}{2}$ であり、実際に達せられる。$r=e^z$ は $z$ の増加関数なので、$r$ が最小のとき $z$ も最小で、
$$e^z=\frac{1}{2}⟹z=\log \frac{1}{2}=-\log 2.$$

よって $z$ 座標の最小値は $-\log 2$ である。

回転面 $r=e^z$ の第一基本形式は、$dr=e^{z}dz$ より $d{s}^2=d{r}^2+d{z}^2+r^{2}d{\phi }^2=(1+e^{2z})d{z}^2+r^{2}d{\phi }^2$。

クレローの関係式: 測地線と子午線のなす角を $\theta$ とすると、$r\sin \theta$ は測地線に沿って一定。

$P=(1,0,0)$ では $r=1$、$\theta =\pi /6$ なので $r\sin \theta =1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

$\sin \theta =\frac{1/2}{r}\le 1$ より $r\ge \frac{1}{2}$ が必要で、測地線は $r\ge \frac{1}{2}$ の領域にとどまる。すなわち $e^z\ge \frac{1}{2}$、$z\ge -\log 2$。

実際に $r=\frac{1}{2}$ に到達することの確認: $z$ が減少する向きに進むと、$\frac{dz}{ds}=-\frac{\cos \theta }{\sqrt{1+r^2}}=-\frac{\sqrt{1-1/(4r^2)}}{\sqrt{1+r^2}}$。$r$ が $1$ から $\frac{1}{2}$ へ減少する間、$\cos \theta >0$ なので $z$ は単調に減少し、${\int }_{1/2}^1\frac{\sqrt{1+r^2}}{r\sqrt{1-1/(4r^2)}}\cdot \frac{dr}{r}\cdot r$ の形の弧長積分は、端点 $r=\frac{1}{2}$ で被積分関数が $(r-\frac{1}{2}{)}^{-1/2}$ 型の可積分な特異性しかもたないので有限。よって有限の弧長で $r=\frac{1}{2}$（$\theta =\pi /2$）に到達する。

そこで測地線は平行円 $r=\frac{1}{2}$ に接する。この平行円は測地線ではない（子午線の曲率による測地曲率が $0$ でない。$r^{\prime }(z)=e^z\ne 0$）ので、そこで $z$ は極小となり、その後 $z$ は増加に転じる（以降は $r\ge \frac{1}{2}$ を保ちつつ上方へ向かい、極小値を再び下回ることはない）。

したがって $\min z=\log \frac{1}{2}=-\log 2$。

検算: $r=\frac{1}{2}$ のとき $e^z=\frac{1}{2}$ より $z=-\log 2$。$P$ での $z=0$ より小さく、減少する向きという条件と整合する。