微分幾何の問題

1. 円錐面の母線と頂点からの距離

$S$ 上の点 $(x,y,z)$ で $r=\sqrt{x^2+y^2}$ とおくと $z=\sqrt{3}r$ なので、原点からの距離は $\rho =\sqrt{r^2+3r^2}=2r$ である。母線と $z$ 軸のなす角（半頂角）を $\alpha$ とすると $\sin \alpha =\frac{r}{\rho }=\frac{1}{2}$。

そこで $S$ を
$$X(\rho ,\phi )=\left(\frac{\rho }{2}\cos \phi ,\frac{\rho }{2}\sin \phi ,\frac{\sqrt{3}}{2}\rho \right)(\rho >0)$$
と表す。$X_{\rho }=\left(\frac{1}{2}\cos \phi ,\frac{1}{2}\sin \phi ,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $X_{\phi }=\left(-\frac{\rho }{2}\sin \phi ,\frac{\rho }{2}\cos \phi ,0\right)$ より $E=1$, $F=0$, $G=\frac{{\rho }^2}{4}$ で、第一基本形式は
$$d{\rho }^2+\frac{{\rho }^2}{4}d{\phi }^2.$$

2. 展開図（局所等長写像）

$\psi =\frac{\phi }{2}$ とおくと第一基本形式は $d{\rho }^2+{\rho }^{2}d{\psi }^2$ となり、これは平面の極座標 $(\rho ,\psi )$ の計量そのものである。したがって $(\rho ,\phi )\mapsto (\rho ,\psi =\phi /2)$ により、$S$ を（母線 1 本で切り開いて）中心角 $2\pi \sin \alpha =\pi$ の扇形（半平面）に等長に展開できる。展開図では測地線は直線（線分）になり、曲線の長さも原点からの距離 $\rho$ も保たれる。

3. 2 点の位置

$A=(2,0,2\sqrt{3})$: $r=2$ より $\rho =4$, $\phi =0$。
$B=(-1,\sqrt{3},2\sqrt{3})$: $r=2$ より $\rho =4$, $\phi =\frac{2\pi }{3}$。

展開図では $A$ は $(\rho ,\psi )=(4,0)$, $B$ は $(4,\pi /3)$ に移る。$A$ から $B$ へ逆回りに回る場合は、展開図での角度の差は $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$ である。

4. 最短の曲線

どちらの回り方でも角度の差は $\pi$ より小さいので、展開図上で 2 点を線分で結べる。その長さは余弦定理より
- 角度差 $\pi /3$: $\sqrt{4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cos \frac{\pi }{3}}=4$
- 角度差 $2\pi /3$: $\sqrt{4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cos \frac{2\pi }{3}}=4\sqrt{3}$

よって $\gamma$ は、展開図で $(4,0)$ と $(4,\pi /3)$ を結ぶ線分（長さ $4$）である。

5. 原点に最も近い点

$\gamma$ 上の点と $O$ の距離は展開図での原点からの距離 $\rho$ に等しい。展開図の三角形 $O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$（$O{A}^{\prime }=O{B}^{\prime }=4$, $\angle A^{\prime }O{B}^{\prime }=\pi /3$）は二等辺三角形なので、$O$ から線分 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ に下ろした垂線の足は $A^{\prime }{B}^{\prime }$ の中点で、線分上にある。その長さは
$$4\cos \frac{\pi }{6}=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.$$

したがって求める最小値は $2\sqrt{3}$ である。

円錐面 $z=\sqrt{3}r$（$r=\sqrt{x^2+y^2}$）上の点の頂点 $O$ からの距離は $\sqrt{r^2+z^2}=2r$（母線に沿った長さ $s=2r$）。母線と軸のなす角 $\alpha$ は $\sin \alpha =r/s=1/2$。$S$ を母線に沿って切り開くと、中心角が $2\pi \sin \alpha =\pi$ の扇形（半円）になり、方位角 $\theta$ は展開図上の角 $\theta \sin \alpha =\theta /2$ に対応する。

$A$: $r=2$, $s=4$, $\theta =0$。$B$: $r=\sqrt{1+3}=2$, $s=4$, $\theta =2\pi /3$（$x=-1,y=\sqrt{3}$）。展開図上で $A,B$ は頂点から距離 4、なす角は $\pi /3<\pi$ なので、$A,B$ を結ぶ線分が展開図内（扇形内部）に収まり、最短曲線 $\gamma$ に対応する（扇形は凸で、角 $\pi /3<\pi$ より他の巻き方より短い）。

$\gamma$ 上の点の $O$ からの ${\mathbb{R}}^3$ での距離は展開図上での頂点からの距離 $s$ に等しい。頂点から線分 $AB$ までの距離は、二等辺三角形（辺 4, 4, 頂角 $\pi /3$）の高さ $4\cos (\pi /6)=2\sqrt{3}$。垂線の足は $AB$ の中点で線分上にあるので最小値は $2\sqrt{3}$。

検算: 中点の展開図上の位置は角 $\pi /6$、距離 $2\sqrt{3}$。端点では距離 4 > $2\sqrt{3}\approx 3.46$ で整合する。