微分幾何の問題

計量。 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=2\sqrt{2}r$ とすると
$$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+8d{r}^2=9d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2.$$

クレローの関係式。 計量の係数が $\theta$ によらないので、測地線に沿って $r^2{\theta }^{\prime }$ は一定である（$\theta$ に関するオイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{d}{dt}(r^2{\theta }^{\prime })=0$）。$t=0$ で $r=1$、${\gamma }^{\prime }(0)=(0,1,0)$ は ${\partial }_{\theta }$ 方向（$\theta =0$, $r=1$ で ${\partial }_{\theta }=(0,1,0)$）なので $r^{\prime }(0)=0,{\theta }^{\prime }(0)=1$。よって
$$r^2{\theta }^{\prime }=1.$$

弧長条件。 $9r^{\prime 2}+r^2{\theta }^{\prime 2}=1$ に代入すると
$$9r^{\prime 2}=1-\frac{1}{r^2}.$$
したがって $r\ge 1$ で、$r=1$ となるのは $r^{\prime }=0$ となる $t=0$ のみである。実際 $r^{\prime \prime }$ を計算すると $9r^{\prime \prime }=\frac{1}{r^3}>0$（上式を微分）なので、$r$ は $t<0$ で減少、$t>0$ で増加し、$|r^{\prime }|\to \frac{1}{3}$ より $r(t)\to \infty (t\to \pm \infty )$。また $r(-t)=r(t)$、$\theta (-t)=-\theta (t)$（対称性）。

$\theta$ の変化量。 $t>0$ では $r^{\prime }>0$ なので $r$ を変数にとれて
$$\frac{d\theta }{dr}=\frac{{\theta }^{\prime }}{r^{\prime }}=\frac{1/r^2}{\frac{1}{3}\sqrt{1-1/r^2}}=\frac{3}{r\sqrt{r^2-1}}.$$
よって
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\theta (t)={\int }_1^{\infty }\frac{3dr}{r\sqrt{r^2-1}}.$$
$r=\frac{1}{\cos \varphi }$（$0\le \varphi <\frac{\pi }{2}$）と置換すると $dr=\frac{\sin \varphi }{{\cos }^2\varphi }d\varphi$、$\sqrt{r^2-1}=\tan \varphi$ なので
$${\int }_1^{\infty }\frac{dr}{r\sqrt{r^2-1}}={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos \varphi \cdot \sin \varphi /{\cos }^2\varphi }{\tan \varphi }d\varphi ={\int }_0^{\pi /2}d\varphi =\frac{\pi }{2}.$$
ゆえに ${\lim }_{t\to \infty }\theta (t)=\frac{3\pi }{2}$、対称性から ${\lim }_{t\to -\infty }\theta (t)=-\frac{3\pi }{2}$ で
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\theta (t)-\underset{t\to -\infty }{\lim }\theta (t)=3\pi .$$

別解（展開図）。 母線方向の距離は $\sigma =3r$ で、$d{s}^2=d{\sigma }^2+{\left(\frac{\sigma }{3}\right)}^{2}d{\theta }^2$。$\phi =\theta /3$ とおくと平面の極座標 $d{\sigma }^2+{\sigma }^{2}d{\phi }^2$ となり、測地線は展開図上の直線になる。直線が原点のまわりに張る角は全体で $\pi$ なので、$\theta$ の変化量は $3\pi$。

円錐 $z=2\sqrt{2}r$ の点 $(r,\theta )$ の頂点からの斜距離は $\rho =\sqrt{r^2+8r^2}=3r$。頂点を通る母線と軸のなす角 $\alpha$ は $\sin \alpha =r/\rho =1/3$。円錐を平面に展開すると、頂点を中心とする角度 $2\pi \sin \alpha =2\pi /3$ の扇形になり、展開角 $\phi$ と方位角 $\theta$ は $\phi =\theta \sin \alpha =\theta /3$ の関係にある。測地線は展開図で直線。$\gamma (0)=(1,0,2\sqrt{2})$ は $\rho =3$、${\gamma }^{\prime }(0)=(0,1,0)$ は方位方向（母線に直交）なので、展開図では頂点から距離 $3$ の点で動径に直交する直線で、頂点からの最短距離が $3$。この直線上の点の動径角は $\phi$ が $-\pi /2$ から $\pi /2$ まで動く（$t\to \mp \infty$ で $\phi \to \mp \pi /2$）ので、全変化は $\pi$。（直線は展開図を何枚もの扇形にまたがって延びる広がった領域を考えるが、$\phi$ は連続に連なる。）$\theta =3\phi$ なので $\Delta \theta =3\pi$。\n\n検算: 円錐の全頂角 $2\pi /3<\pi$ なので測地線は自己交差し、$\pi /(2\pi /3)=1.5$ 周分（$\Delta \theta =3\pi$ は $1.5$ 回転）と一致。