展開図（局所等長写像）による測地線

円錐面を中心角 $2 π sin α$ の扇形に展開して、測地線を直線として扱える。展開図上の直線の方程式から、測地線の最も頂点に近い点や、自己交差する点の個数を求められる

前提

クリストッフェル記号と測地線の方程式（大学院数学微分幾何）
極座標（数学C 平面上の曲線）

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算数中学高校大学大学院

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クリストッフェル記号と測地線の方程式（大学院数学微分幾何）
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極座標（数学C 平面上の曲線）

説明

円錐面は、母線に沿って切り開くと伸び縮みなしに平面の扇形に広げられます。この「展開図」の上では測地線がただの線分（直線）になるので、測地線の方程式を解かなくても、平面幾何だけで測地線の様子がわかります。頂点からの距離が最小になる点、2 点を結ぶ最短の測地線、測地線が自分自身と何回交わるか、といった問いに使います。

なぜそうしてよいのか

頂点を原点とし、軸と母線のなす角（半頂角）を $α$ （ $0 < α < \frac{π}{2}$ ）とする円錐面を、頂点からの母線に沿った距離 $s > 0$ と軸のまわりの回転角 $φ$ で $p (s, φ) = (s sin α cos φ, s sin α sin φ, s cos α)$ と表します。 $p_{s} = (sin α cos φ, sin α sin φ, cos α)$ , $p_{φ} = (- s sin α sin φ, s sin α cos φ, 0)$ より $E = 1, F = 0, G = s^{2} sin^{2} α$ で、第一基本形式は $d s^{2} + s^{2} sin^{2} α d φ^{2}$ です。

ここで $r = s, θ = φ sin α$ とおくと、これは $d r^{2} + r^{2} d θ^{2}$ となり、平面の極座標の第一基本形式とまったく同じです。 $φ$ が $0$ から $2 π$ まで動くと $θ$ は $0$ から $2 π sin α$ まで動くので、円錐面（1 本の母線で切ったもの）は、中心角 $2 π sin α$ の扇形 ${(r, θ) ∣ r > 0, 0 < θ < 2 π sin α}$ に長さを保って写ります。切り口の 2 辺 $θ = 0$ と $θ = 2 π sin α$ は貼り合わされています。このように（局所的に）曲線の長さを保つ写像を局所等長写像といいます。

クリストッフェル記号は第一基本形式の係数とその微分だけで決まるので、対応する座標で書けば両者の $Γ_{ij}^{k}$ は一致し、測地線の方程式 $u ¨^{k} + Γ_{ij}^{k} u ˙^{i} u ˙^{j} = 0$ も同じになります。平面の測地線は直線なので、円錐面の測地線は展開図の上で直線（の一部）に写ります。切り口をまたぐときは、扇形のコピーを $θ$ 方向に $2 π sin α$ ずつずらして並べ、その上の 1 本の直線として扱えばよいのです。偏角が $2 π sin α$ の整数倍だけ違い $r$ が等しい展開図上の 2 点は、円錐面上では同じ点を表します（頂点 $r = 0$ は曲面に含まれないので、頂点を通る直線、つまり母線は別扱いになります）。

手順

円錐面の半頂角 $α$ を確かめ、展開図の中心角 $β = 2 π sin α$ を求める。
円錐面上の点（頂点からの距離 $s$ 、回転角 $φ$ ）を展開図の極座標 $(r, θ) = (s, φ sin α)$ に写す。必要なら扇形のコピーを $θ$ 方向に $β$ ずつずらして並べる。
測地線を展開図上の直線として描く。頂点から直線までの距離を $d > 0$ 、垂線の足の偏角を $θ_{0}$ とすると、直線の方程式は $r cos (θ - θ_{0}) = d$ （ $θ_{0} - \frac{π}{2} < θ < θ_{0} + \frac{π}{2}$ ）。2 点 $(r_{1}, θ_{1}), (r_{2}, θ_{2})$ を結ぶ線分は、偏角の差が $∣ θ_{2} - θ_{1} ∣ < π$ のときにだけ存在する。
頂点に最も近い点は垂線の足 $(d, θ_{0})$ で、その距離は $d$ 。2 点を結ぶ線分なら、 $d$ は三角形 $O A B$ の面積 $\frac{1}{2} r_{1} r_{2} sin ∣ θ_{2} - θ_{1} ∣$ を 2 倍して底辺 $A B$ で割るなどして求める（垂線の足が線分上にあることを確かめる）。
自己交差は、直線上の偏角が $k β$ （ $k \neq = 0$ は整数）だけずれた 2 点 $θ_{1}, θ_{1} + k β$ で $r$ が等しいところに起こる。 $A = θ_{1} - θ_{0}, B = θ_{1} + k β - θ_{0}$ はともに $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ にあり、 $cos A = cos B$ から $A = B + 2 mπ$ または $A = - B + 2 mπ$ 。 $∣ A - B ∣ < π, ∣ A + B ∣ < π$ なので $m = 0$ で、 $A = B$ は $k β \neq = 0$ より起こらないから $A = - B$ 、つまり $θ_{1} = θ_{0} - \frac{k β}{2}$ 。このとき $A = - \frac{k β}{2}, B = \frac{k β}{2}$ で、ともに $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ に入る条件は $∣ k ∣ β < π$ 。
$k$ と $- k$ は同じ 2 点の組（同じ交点）を与えるので正の $k$ だけ数える。交点の $r = \frac{d}{cos ( k β /2 )}$ は $k$ が違えば異なるので別の点になる。よって自己交差点の個数は $k β < π$ 、すなわち $k < \frac{1}{2 sin α}$ を満たす正の整数 $k$ の個数である。

例題

半頂角 $α$ が $sin α = \frac{1}{3}$ を満たす円錐面がある。頂点から母線に沿って距離 $6$ の位置に点 $P$ をとり、同じく頂点から距離 $6$ で、 $P$ と軸に関して反対側（軸のまわりの回転角の差が $π$ ）にある点を $Q$ とする。 $P$ と $Q$ を結ぶ最短の測地線上で、頂点からの（円錐面上の）距離が最小となる点までの距離を求めよ。

例題の解答

手順 1: 展開図の中心角は $β = 2 π sin α = 2 π \cdot \frac{1}{3} = \frac{2 π}{3}$ 。

手順 2: $P$ の回転角を $φ = 0$ 、 $Q$ を $φ = π$ とすると、展開図上で $P = (6, 0)$ , $Q = (6, π \cdot \frac{1}{3}) = (6, \frac{π}{3})$ 。 $Q$ のコピーは偏角 $\frac{π}{3} + \frac{2 π}{3} n$ にあり、 $P$ との偏角の差が $π$ 未満になるのは $\frac{π}{3}$ （ $n = 0$ ）と $- \frac{π}{3}$ （ $n = - 1$ 、反対回り）だけ。どちらも差は $\frac{π}{3}$ で、対称な 2 本の測地線は長さも頂点との最短距離も等しいので、偏角の差 $\frac{π}{3}$ の線分 $P Q$ を調べればよい。

手順 3: 偏角の差 $\frac{π}{3} < π$ なので線分 $P Q$ は存在する。 $O P = O Q = 6$ 、 $∠ P O Q = \frac{π}{3}$ より三角形 $O P Q$ は正三角形で、 $P Q = 6$ （これが最短の測地線の長さ）。

手順 4: 頂点 $O$ に最も近い点は $O$ から $P Q$ に下ろした垂線の足で、二等辺三角形なので $P Q$ の中点（偏角 $θ_{0} = \frac{π}{6}$ ）にあり、線分上にある。その距離は $d = 6 cos \frac{π}{6} = 33$ 。面積で確かめると $△ O P Q = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 sin \frac{π}{3} = 93$ で、 $d = \frac{2 \cdot 9 3}{6} = 33$ 。

展開図は長さを保つので、円錐面上での距離も $33$ である。

答え: $33$

よくある誤り

展開図の中心角を $2 π α$ や $2 π cos α$ としてしまう誤り。正しくは、頂点から距離 $s$ の緯線の長さ $2 π s sin α$ が半径 $s$ の弧になるので中心角は $2 π sin α$ （ $α$ は軸と母線のなす角）。問題が母線と底面のなす角などで角を与えているときは、まず半頂角に直す。
円錐面上の回転角 $φ$ をそのまま展開図の偏角に使ってしまう誤り。正しくは $θ = φ sin α$ 。例えば $sin α = \frac{1}{3}$ で反対側（ $φ = π$ ）の点は、展開図では偏角 $\frac{π}{3}$ の位置にくる。
偏角の差が $π$ 以上の 2 点も展開図上の線分で結べるとしてしまう誤り。直線 $r cos (θ - θ_{0}) = d$ が通る偏角の幅は $π$ 未満なので、展開図上で偏角の差が $π$ 以上の 2 点を結ぶ測地線（頂点を通らないもの）はない。そのときは別のコピーで差が $π$ 未満になるかを調べる。
自己交差点の個数を $⌊ \frac{1}{2 s i n α} ⌋$ としてしまう誤り。条件は狭義の不等式 $k < \frac{1}{2 s i n α}$ なので、 $\frac{1}{2 s i n α}$ が整数のときは 1 つ少ない。例えば $sin α = \frac{1}{4}$ （ $β = \frac{π}{2}$ ）では $k = 2$ のとき $k β = π$ で範囲に入らず、 $k = 1$ だけなので自己交差点は 1 個（2 個ではない）。また $k$ と $- k$ を別々に数えて 2 倍にしてしまうのも誤り。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$R^{3}$ 内の円錐面
$S = {(x, y, z) \in R^{3} z = 3 x^{2} + y^{2}, z > 0}$
に $R^{3}$ の標準内積から誘導される計量を入れる。 $S$ 上の 2 点
$A = (2, 0, 23), B = (- 1, 3, 23)$
を結ぶ $S$ 上の曲線のうち、長さが最小であるもの（これは測地線である）を $γ$ とする。 $γ$ 上の点と原点 $O = (0, 0, 0)$ との（ $R^{3}$ における）距離の最小値を求めよ。

展開図（局所等長写像）による測地線

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題