微分幾何の問題

1. 計量の計算

$\rho =\mathrm{sech}t$ とおく。

• $X_t=(-\mathrm{sech}t\tanh t\cos \theta ,-\mathrm{sech}t\tanh t\sin \theta ,1-{\mathrm{sech}}^{2}t)$
• $X_{\theta }=(-\mathrm{sech}t\sin \theta ,\mathrm{sech}t\cos \theta ,0)$

$1-{\mathrm{sech}}^{2}t={\tanh }^{2}t$ を用いると、第一基本量は次のようになる。
$$E={\mathrm{sech}}^{2}t{\tanh }^{2}t+{\tanh }^{4}t={\tanh }^{2}t,F=0,G={\mathrm{sech}}^{2}t.$$
よって
$$d{s}^2={\tanh }^{2}td{t}^2+{\mathrm{sech}}^{2}td{\theta }^2.$$
$\rho =\mathrm{sech}t$ は $t>0$ で狭義単調減少なので、$X$ は $(t,\theta \mathrm{mod}2\pi )$ について単射である。したがって $S$ は埋め込まれた曲面であり、$S$ 上の点の一致は $(t,\theta \mathrm{mod}2\pi )$ の一致と同じである。

2. 上半平面モデルへの変換

$x=\theta ,y=\cosh t(>1)$ とおく。$dy=\sinh tdt$ より
$$\frac{d{y}^2}{y^2}={\tanh }^{2}td{t}^2,\frac{d{x}^2}{y^2}={\mathrm{sech}}^{2}td{\theta }^2.$$
よって
$$d{s}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{y^2}.$$
すなわち $S$ は、双曲平面の領域 $H_1=\{(x,y)\mid y>1\}$ を平行移動 $(x,y)\mapsto (x+2\pi ,y)$ で割ったものと等長である。$H_1$ は $S$ の普遍被覆を与える。

双曲平面 $y>0$ の測地線は、鉛直な半直線と、中心が $x$ 軸上にある半円である。$H_1$ は $y>0$ の中の領域なので、$H_1$ 内の極大測地線はそれらと $H_1$ の共通部分の連結成分になる。

3. $\gamma$ の持ち上げ

$P$ は $(0,10)$ に持ち上がる。緯線は水平線 $y=10$ に対応する。計量は共形なので角度が保たれ、初速度は水平方向と角 $\frac{\pi }{3}$ をなす。これは鉛直方向ではないので、持ち上げは中心 $(a,0)$、半径 $R$ の円の一部である。

円の点 $(0,10)$ において、接線が水平線となす角は、半径ベクトル $(-a,10)$ が鉛直方向となす角に等しい。よって
$$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{10}{R}⟹R=20.$$
このとき $a=\pm 10\sqrt{3}$ となる。どちらの符号でも像は $\theta \mapsto -\theta$ で移り合うので、自己交差点の個数は $v$ の選び方によらない。以下 $a=0$ と平行移動して考える（$x$ 方向の平行移動は被覆変換と可換なので、個数は変わらない）。

（確認）クレーローの関係式 $\rho \cos \psi =c$（$\psi$ は緯線となす角）から、$c=\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{20}$ である。$y=1/\rho$ なので、到達する最大の高さは $y=1/c=20=R$ となり、上の結果と一致する。

持ち上げた曲線は
$$\tilde{\gamma }=\{(x,y)\mid x^2+y^2=400,y>1\}$$
である。両端は $y\to 1$、すなわち $S$ の縁 $t\to 0$ に有限の長さで近づき、そこで $S$ の外に出るので、これ以上延長できない。

4. 自己交差点の数え上げ

$\gamma$ の自己交差点は、$\tilde{\gamma }$ 上の相異なる $2$ 点 $p,q$ で $p-q=(2\pi k,0)$（$k\ne 0$ は整数）となる組に対応する。そのような組は、$\tilde{\gamma }$ と平行移動 $\tilde{\gamma }+(2\pi k,0)$ の交点に対応する。

半径 $20$ で中心が $(0,0)$ と $(2\pi k,0)$ の $2$ つの円の上半平面での交点は、$\pi |k|<20$ のときに限りただ $1$ つ存在し、それは
$$\left(\pi k,\sqrt{400-{\pi }^2{k}^2}\right)$$
である（横断的に交わる）。これが $H_1$ 内にある条件は
$$400-{\pi }^2{k}^2>1⟺\pi |k|<\sqrt{399}.$$

$k$ と $-k$ は同じ組 $\{p,q\}$ を与えるので、$k\ge 1$ だけを数えればよい。異なる $k$ に対応する点は高さ $y$ が異なるので、$S$ 上でも異なる点である。また、各高さ $y$ で $\tilde{\gamma }$ は高々 $2$ 点（$x=\pm \sqrt{400-y^2}$）しかもたないので、$3$ 回以上通る点はない。

$\sqrt{399}\approx 19.975$ であり、
$$6\pi \approx 18.85<19.975<7\pi \approx \mathrm{21.99.}$$
よって条件をみたすのは $k=1,2,\dots ,6$ である。

したがって自己交差点の個数は $\boxed{6}$ である。

曲面の計量は $d{s}^2={\tanh }^{2}td{t}^2+{\mathrm{sech}}^{2}td{\theta }^2$ である。$X_t=(-\mathrm{sech}t\tanh t\cos \theta ,-\mathrm{sech}t\tanh t\sin \theta ,{\tanh }^{2}t)$ より $|X_t{|}^2={\tanh }^{2}t({\mathrm{sech}}^{2}t+{\tanh }^{2}t)={\tanh }^{2}t$、$|X_{\theta }{|}^2={\mathrm{sech}}^{2}t$ で、$X_t\cdot X_{\theta }=0$ である。

$y=\cosh t$、$x=\theta$ とおくと $dy=\sinh tdt$ なので ${\tanh }^{2}td{t}^2=d{y}^2/y^2$ となる。よって $d{s}^2=(d{x}^2+d{y}^2)/y^2$ で、$S$ は上半平面の領域 $\{y>1\}$ を $x\sim x+2\pi$ で割った曲面（曲率 $-1$）と等長である。$t\to 0$ すなわち $y\to 1$ は縁（尖点の輪）で、測地線はここに有限時間で達すると $S$ 内では終わる。

$P$ は $y_0=\cosh t_0=10$ にある。緯線の方向は $x$ 軸方向であり、この方向と角 $\pi /3$ をなす測地線は、中心が実軸上の半円（縦線にはならない）である。半径を $R$ とすると、円周上の点で接線と水平方向のなす角 $\phi$ は $\cos \phi =y/R$ を満たす。したがって $R=10/\cos (\pi /3)=20$ である。

極大測地線 $\gamma$ は、この半円のうち $y>1$ の部分、すなわち中心 $c$ から $|x-c|<\sqrt{400-1}=\sqrt{399}\approx 19.975$ の範囲の弧である。これを円柱 $x\sim x+2\pi$ に射影する。

弧上で同じ高さ $y$ をもつ点は $x-c=\pm a$ の 2 点だけである。これらが円柱上で一致する条件は $2a\in 2\pi {\mathbb{Z}}_{>0}$、つまり $a=\pi k$（$k=1,2,\dots$）である。$a<\sqrt{399}\approx 19.975$ より $\pi k<19.975$ で、$6\pi \approx 18.85$、$7\pi \approx 21.99$ だから $k=1,\dots ,6$ である。

これらの交点は高さ $y=\sqrt{400-{\pi }^2{k}^2}$ が互いに異なるので別々の点で、各点を通るのはちょうど 2 回である。$k=0$ は $\gamma$ の頂点（$y=20$）で、1 回しか通らない。

よって自己交差点は 6 個である。