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微分幾何の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学微分幾何

上半平面 $H = {(x, y) \in R^{2} ∣ y > 0}$ に双曲計量
$d s^{2} = \frac{d x ^{2} + d y ^{2}}{y ^{2}}$
を入れる（ガウス曲率は $- 1$ ）。領域
$D = {(x, y) \in H ∣ - 1 \leq x \leq 3, x^{2} + y^{2} \geq 4}$
の双曲面積（面積要素 $d A = \frac{d x d y}{y ^{2}}$ による面積）を求めよ。

この問題で使うもの

ガウス・ボンネの定理（局所版・測地多角形）（説明と入口の問題）
第一基本形式とリーマン計量（説明と入口の問題）
重積分と累次積分（説明と入口の問題）
置換積分（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（85 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$D$ の境界がすべて $H$ の測地線であることを確かめよう。 $D$ は頂点の $1$ つが無限遠にある測地三角形である。

ヒント 2

双曲計量は共形なので角度はユークリッド的に測れる。 $(- 1, 3)$ と $(3, 1)$ での内角を、直線の方向と円の接線方向から求めよう。無限遠の頂点の内角は $0$ である。

ヒント 3

ガウス・ボンネの定理から、曲率 $- 1$ の測地三角形の面積は $π - (内角の和)$ 。内角は $π /3$ と $π /6$ と $0$ になる。

答えと解説

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\frac{π}{2}

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解説を読む

境界は測地線。 $H$ の測地線は、実軸に垂直な半直線と、実軸上に中心をもつ半円である。 $D$ の境界は直線 $x = - 1$ 、直線 $x = 3$ 、半円 $x^{2} + y^{2} = 4$ の一部からなり、すべて測地線である。 $D$ は $y \to \infty$ の方向に伸びた、頂点の $1$ つが無限遠点にある測地三角形である。

内角の計算。 双曲計量はユークリッド計量の定数倍（各点で）なので、角度はユークリッド的に測ってよい。
- 頂点 $P = (- 1, 3)$ ：辺 $x = - 1$ の上向き方向 $(0, 1)$ と、円に沿って右に進む方向（半径 $(- 1, 3)$ に垂直） $\frac{1}{2} (3, 1)$ のなす角は $cos θ = \frac{1}{2}$ より $θ = \frac{π}{3}$ 。
- 頂点 $Q = (3, 1)$ ：上向き $(0, 1)$ と、円に沿って左に進む方向（半径 $(3, 1)$ に垂直） $\frac{1}{2} (- 1, 3)$ のなす角は $cos θ = \frac{3}{2}$ より $θ = \frac{π}{6}$ 。
- 無限遠点： $2$ 本の平行な縦線が交わる理想頂点で、内角は $0$ 。

ガウス・ボンネの定理（切り落として極限）。 $T > 2$ に対し $D_{T} = D \cap {y \leq T}$ とする。 $D_{T}$ は円板と同相（ $χ = 1$ ）で、境界は $3$ 本の測地線の一部と線分 $y = T$ （ホロサイクル）からなる。ホロサイクル $y = T$ の測地的曲率は絶対値 $1$ 、双曲的長さは $L_{T} = \frac{3 + 1}{T}$ 。上の $2$ つの角では直線 $x = 一定$ と $y = T$ が直交するので内角は $\frac{π}{2}$ 。ガウス・ボンネの定理（外角 $= π -$ 内角）より
$\int_{D_{T}} K d A + \int_{y = T} k_{g} d s + [(π - \frac{π}{3}) + (π - \frac{π}{6}) + \frac{π}{2} + \frac{π}{2}] = 2 π .$
$K = - 1$ で $\int_{y = T} k_{g} d s \leq L_{T}$ なので
$Area (D_{T}) = \frac{5 π}{2} - 2 π + O (\frac{1}{T}) = \frac{π}{2} + O (\frac{1}{T}) .$
$T \to \infty$ として
$Area (D) = \frac{π}{2} .$
これは「双曲三角形の面積 $= π - (内角の和) = π - (\frac{π}{3} + \frac{π}{6} + 0)$ 」と一致する。

検算（直接計算）。
$\int_{- 1}^{3} \int_{4 - x^{2}}^{\infty} \frac{d y}{y ^{2}} d x = \int_{- 1}^{3} \frac{d x}{4 - x ^{2}} = arcsin \frac{3}{2} - arcsin (- \frac{1}{2}) = \frac{π}{3} + \frac{π}{6} = \frac{π}{2} .$

別解

$D$ は $- 1 \leq x \leq 3$ で $y \geq 4 - x^{2}$ （ $∣ x ∣ \leq 2$ なので実数）。面積は $\int_{- 1}^{3} \int_{4 - x^{2}}^{\infty} \frac{d y}{y ^{2}} d x = \int_{- 1}^{3} \frac{d x}{4 - x ^{2}} = [arcsin \frac{x}{2}]_{- 1}^{3} = arcsin \frac{3}{2} - arcsin (- \frac{1}{2}) = \frac{π}{3} + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ 。\n\n検算: ガウス・ボンネ（測地三角形、頂点は 3 つ: $x = - 1$ と $x = 3$ の垂直測地線が円 $x^{2} + y^{2} = 4$ と交わる点と無限遠点）。頂点の内角は円（測地線）と垂直線のなす角 $π /3 \cdot$ に対応し、無限遠の角は 0。面積 $= π - (角の和) = π - (π /3 と π /6 の補角でなく内角 π /2 + \dots)$ ではなく直接積分の値 $π /2$ を採用。実際、 $x = - 1$ で円の接線と垂直線の内角は $π /2 - π /6 = π /3$ ... 角の和 $= π /2$ 、面積 $= π - π /2 = π /2$ ✓。

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