微分幾何の問題

方法 1：共形計量の公式. $g=e^{2\phi }(d{x}^2+d{y}^2)$, $\phi =-\log y$ と書ける。一般に共形計量 $e^{2\phi }{g}_0$ における曲線の測地的曲率 ${\kappa }_g$ は、ユークリッド計量 $g_0$ での曲率 ${\kappa }_0$ と、同じ側を向くユークリッド単位法線 $n$ を用いて
$${\kappa }_g=e^{-\phi }\left({\kappa }_0-\frac{\partial \phi }{\partial n}\right)$$
で与えられる。
$C$ はユークリッド的に中心 $(0,5)$、半径 $3$ の円なので、点 $(3\cos t,5+3\sin t)$ において ${\kappa }_0=\frac{1}{3}$、内向き法線は $n=-(\cos t,\sin t)$。$\nabla \phi =\left(0,-\frac{1}{y}\right)$ より
$$\frac{\partial \phi }{\partial n}=\nabla \phi \cdot n=\frac{\sin t}{y}.$$
よって
$${\kappa }_g=y\left(\frac{1}{3}-\frac{\sin t}{y}\right)=\frac{y}{3}-\sin t=\frac{5+3\sin t}{3}-\sin t=\frac{5}{3}.$$

方法 2：双曲円としての検算. $C$ は $y$ 軸上の点 $2i$ と $8i$ を通り、$y$ 軸について対称である。$\mathbb{H}$ におけるユークリッド円は双曲円であり、$y$ 軸（測地線）上の直径の両端が $2i,8i$ なので、双曲的半径は
$$\rho =\frac{1}{2}{\int }_2^8\frac{dy}{y}=\frac{1}{2}\log 4=\log 2.$$
ガウス曲率 $-1$ の曲面上の半径 $\rho$ の測地円の測地的曲率は $\coth \rho$ なので
$${\kappa }_g=\coth (\log 2)=\frac{2+\frac{1}{2}}{2-\frac{1}{2}}=\frac{5/2}{3/2}=\frac{5}{3}.$$

よって求める値は $\frac{5}{3}$。

$C$ はユークリッド円で中心 $(0,5)$、半径 $3$、$y$ の範囲は $2\le y\le 8$ で上半平面に完全に含まれるので、双曲円でもある。双曲距離で直径は ${\int }_2^{8}dy/y=\log 4$ なので双曲半径は $\rho =\log 2$。双曲平面（曲率 $-1$）の半径 $\rho$ の円の測地的曲率は（内向き法線に関して）$\coth \rho$ なので $\coth (\log 2)=\frac{2+1/2}{2-1/2}=\frac{5}{3}$。別解: ユークリッド円（中心高さ $c=5$、半径 $R=3$）の双曲測地的曲率は $c/R=5/3$ と一致する（$k_g=y{k}_{euc}+n_y$ を用いて、最下点 $y=2$: $2\cdot \frac{1}{3}+1=\frac{5}{3}$、最上点 $y=8$: $8\cdot \frac{1}{3}-1=\frac{5}{3}$ でも確認）。