微分幾何の問題

${\mathbb{R}}^3$ 内の半径 $2$ の球面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2+z^2=4\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れ、外向きの単位法線で向きを付ける。$S$ 上の領域
$$D=\{(x,y,z)\in S\mid z\ge 1,y\ge 0\}$$
を考える。$D$ の境界 $\partial D$ は、緯線 $\{z=1\}$ の一部と大円 $\{y=0\}$ の一部からなる区分的に滑らかな閉曲線である。$\partial D$ に $D$ が左側にくる向き（$S$ の向きに関する正の向き）を入れ、各滑らかな部分での測地的曲率を ${\kappa }_g$、弧長要素を $ds$ とする。ガウス・ボンネの定理を用いて
$${\int }_{\partial D}{\kappa }_{g}ds$$
（角点を除いた滑らかな部分での積分の和）の値を求めよ。

$S_1,S_2\subset {\mathbb{R}}^3$ を $C^{\infty }$ 級の正則曲面とし、$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma :I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた $C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in S_1\cap S_2$ を満たすものとする。$\gamma$ の（空間曲線としての）曲率 $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ はすべての $s\in I$ で $\kappa (s)>0$ であるとする。

用語を次のように定める（$k=1,2$）。
- $\gamma$ が $S_k$ の測地線であるとは、すべての $s\in I$ で ${\gamma }^{\prime \prime }(s)$ が接平面 $T_{\gamma (s)}{S}_k$ に直交することをいう。
- $\gamma$ が $S_k$ の曲率線であるとは、$\gamma$ に沿う $S_k$ のある $C^{\infty }$ 級の単位法ベクトル場 $N:I\to {\mathbb{R}}^3$（各 $s$ で $|N(s)|=1$ かつ $N(s)\perp T_{\gamma (s)}{S}_k$）が存在して、すべての $s\in I$ で $N^{\prime }(s)$ が ${\gamma }^{\prime }(s)$ の実数倍になることをいう。

$\gamma$ が $S_1$ の測地線であり、かつ $S_2$ の測地線でもあるとする。このとき、すべての $s\in I$ で $T_{\gamma (s)}{S}_1=T_{\gamma (s)}{S}_2$ が成り立ち、さらに「$\gamma$ が $S_1$ の曲率線である」ことと「$\gamma$ が $S_2$ の曲率線である」ことが同値であることを証明せよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、$dx\wedge dy\wedge dz$ が正となる向きを入れる。円柱領域
$$E=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2\le 4,0\le z\le 3\}$$
の境界 $\partial E$（側面・上面・底面からなる）に、$E$ の向きから誘導される境界の向き（外向き法線に対応する向き）を入れる。$2$ 次微分形式
$$\omega =(x+y^{2}z)dy\wedge dz+yzdz\wedge dx+(x^2+z^2)dx\wedge dy$$
について、積分
$${\int }_{\partial E}\omega$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ の座標を $(x,y)$ とし、リーマン計量
$$g=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{1+x^2+y^2}$$
を考える。$({\mathbb{R}}^2,g)$ のガウス曲率を $K$、$g$ に関する面積要素を $dA$ とするとき、積分
$${\int }_{{\mathbb{R}}^2}KdA$$
は収束する。この値を求めよ。

$a>0$ を定数とし、円柱面 $Z=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x^2+y^2=a^2\}$ を考える。$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma =({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3):I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた（すべての $s$ で $|{\gamma }^{\prime }(s)|=1$ の）$C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in Z$ を満たすものとし、その曲率を $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ とする。

なお、$C^{\infty }$ 級の写像 $\sigma :I\to {\mathbb{R}}^2$ がすべての $s$ で $|\sigma (s)|=a$ を満たすならば、$C^{\infty }$ 級の関数 $\theta :I\to \mathbb{R}$ があって $\sigma (s)=(a\cos \theta (s),a\sin \theta (s))$ と書けることは用いてよい。

次の 2 つを証明せよ。
- すべての $s\in I$ で $\kappa (s)\ge \frac{1-{\gamma }_3^{\prime }(s{)}^2}{a}$ が成り立つ。
- この不等式の等号がすべての $s\in I$ で成り立つための必要十分条件は、${\omega }^2{a}^2+c^2=1$ を満たす実数の定数 $c,\omega$ と実数の定数 $\phi ,d$ があって、すべての $s\in I$ で
$$\gamma (s)=(a\cos (\omega s+\phi ),a\sin (\omega s+\phi ),cs+d)$$
と書けることである。