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微分幾何の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学微分幾何

$R^{3}$ 内の半径 $2$ の球面
$S = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4}$
に $R^{3}$ の標準内積から誘導される計量を入れ、外向きの単位法線で向きを付ける。 $S$ 上の領域
$D = {(x, y, z) \in S ∣ z \geq 1, y \geq 0}$
を考える。 $D$ の境界 $\partial D$ は、緯線 ${z = 1}$ の一部と大円 ${y = 0}$ の一部からなる区分的に滑らかな閉曲線である。 $\partial D$ に $D$ が左側にくる向き（ $S$ の向きに関する正の向き）を入れ、各滑らかな部分での測地的曲率を $κ_{g}$ 、弧長要素を $d s$ とする。ガウス・ボンネの定理を用いて
$\int_{\partial D} κ_{g} d s$
（角点を除いた滑らかな部分での積分の和）の値を求めよ。

この問題で使うもの

ガウス・ボンネの定理（局所版・測地多角形）（説明と入口の問題）
曲面上の曲線の測地的曲率（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（85 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

境界付き領域に対するガウス・ボンネの定理 $\iint_{D} K d A + \int_{\partial D} κ_{g} d s + \sum θ_{i} = 2 π χ (D)$ を使う。 $D$ のオイラー標数と角点の外角を確認しよう。

ヒント 2

半径 $2$ の球面では $K = \frac{1}{4}$ で一定なので、 $\iint_{D} K d A$ は面積の $\frac{1}{4}$ 倍。高さ $h$ の球帽の面積は $2 π R h$ である。

ヒント 3

$D$ の面積は $2 π$ 、 $χ (D) = 1$ 、角点は $(\pm 3, 0, 1)$ の $2$ つで、経線と緯線は直交するので外角はどちらも $\frac{π}{2}$ である。

答えと解説

答えを見る

\frac{π}{2}

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解説を読む

ガウス・ボンネの定理. 向き付けられた曲面上の、区分的に滑らかな境界をもつ領域 $D$ に対して
$\iint_{D} K d A + \int_{\partial D} κ_{g} d s + i \sum θ_{i} = 2 π χ (D)$
が成り立つ。ここで $θ_{i}$ は境界の角点での外角である。 $D$ は北極 $(0, 0, 2)$ を含む円板（球帽 $z \geq 1$ ）を半分に切ったもので、閉円板と同相なので $χ (D) = 1$ である。

ガウス曲率の積分. 半径 $2$ の球面のガウス曲率は $K = \frac{1}{4}$ （一定）。球帽 ${z \geq 1}$ の面積は、アルキメデスの公式（高さ $h$ の球帽の面積は $2 π R h$ ）より $2 π \cdot 2 \cdot (2 - 1) = 4 π$ である。 $D$ はこれを平面 $y = 0$ で二等分した片方なので、面積は $2 π$ 。よって
$\iint_{D} K d A = \frac{1}{4} \cdot 2 π = \frac{π}{2} .$

外角. 角点は緯線 $z = 1$ と大円 $y = 0$ の交点 $(\pm 3, 0, 1)$ の $2$ つである。経線（大円 $y = 0$ ）と緯線は直交するので、 $D$ の内角はどちらも $\frac{π}{2}$ 、外角は $θ_{1} = θ_{2} = π - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ 。

代入.
$\frac{π}{2} + \int_{\partial D} κ_{g} d s + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} = 2 π$
より
$\int_{\partial D} κ_{g} d s = 2 π - \frac{3 π}{2} = \frac{π}{2} .$

検算. 大円の部分は測地線なので $κ_{g} = 0$ 。緯線 $z = 1$ は北極からの角距離が $φ = \frac{π}{3}$ （ $cos φ = \frac{1}{2}$ ）の小円で、半径 $R = 2$ の球面上での測地的曲率は $κ_{g} = \frac{cot φ}{R} = \frac{1}{2 3}$ （ $D$ が左側にくる向きで正）。 $D$ の境界に含まれるのは半径 $3$ の円の半分で、長さは $3 π$ 。よって $\int_{\partial D} κ_{g} d s = \frac{1}{2 3} \cdot 3 π = \frac{π}{2}$ となり一致する。

別解

半径 $R = 2$ の球面のガウス曲率は $K = 1/ R^{2} = 1/4$ 。

面積: $z \geq 1$ の球冠の面積は $2 π R h = 2 π \cdot 2 \cdot (2 - 1) = 4 π$ 。 $y \geq 0$ はその半分なので $Area (D) = 2 π$ 。よって $\int_{D} K d A = \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$ 。

角点: $\partial D$ は緯線 $z = 1$ の半円（ $y \geq 0$ 、半径 $3$ ）と、大円 $y = 0$ の弧（ $(- 3, 0, 1)$ から北極 $(0, 0, 2)$ を通り $(3, 0, 1)$ まで）からなる。角点は $(\pm 3, 0, 1)$ の 2 点で、そこで緯線と子午線（大円）は直交するので内角は $π /2$ 、外角は $π /2$ 。外角の和は $π$ 。

ガウス・ボンネの定理（ $D$ は円板で $χ (D) = 1$ ）: $\int_{D} K d A + \int_{\partial D} κ_{g} d s + \sum (外角) = 2 π χ (D) = 2 π$ 。

よって $\int_{\partial D} κ_{g} d s = 2 π - \frac{π}{2} - π = \frac{π}{2}$ 。

検算: 大円の弧は測地線で $κ_{g} = 0$ 。緯線（極角 $θ_{0} = 6 0^{\circ}$ ）の $D$ 側に対する測地的曲率は $κ_{g} = \frac{cot θ _{0}}{R} = \frac{1/ 3}{2} = \frac{1}{2 3}$ 、半円の長さは $π 3$ 。積分は $\frac{1}{2 3} \cdot π 3 = \frac{π}{2}$ 。一致。

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