微分幾何の問題

$\omega ={\omega }_1+{\omega }_2$，
$${\omega }_1=\frac{xdy\wedge dz+ydz\wedge dx+zdx\wedge dy}{r^3},{\omega }_2=x^{2}zdx\wedge dy$$
と分けて計算する。

${\omega }_1$ の積分. ${\omega }_1$ は原点で定義されないので、$E$ 全体でストークスの定理を使うことはできない。まず ${\omega }_1$ が閉形式であることを確かめる。
$$d{\omega }_1=\left(\frac{\partial }{\partial x}\frac{x}{r^3}+\frac{\partial }{\partial y}\frac{y}{r^3}+\frac{\partial }{\partial z}\frac{z}{r^3}\right)dx\wedge dy\wedge dz$$
であり、$\frac{\partial }{\partial x}\frac{x}{r^3}=\frac{1}{r^3}-\frac{3x^2}{r^5}$ などから、係数は $\frac{3}{r^3}-\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}=0$。よって $d{\omega }_1=0$（${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上）。

十分小さい $\epsilon >0$ をとり、半径 $\epsilon$ の球面 $S_{\epsilon }$（外向きの向き）と開球 $B_{\epsilon }$ を考える。$B_{\epsilon }\subset E$ であり、領域 $E\setminus B_{\epsilon }$ はコンパクトで原点を含まないので、その上で ${\omega }_1$ は滑らかである。$\partial (E\setminus B_{\epsilon })=S-S_{\epsilon }$（内側の球面は逆向き）なので、ストークスの定理より
$${\int }_S{\omega }_1-{\int }_{S_{\epsilon }}{\omega }_1={\int }_{E\setminus B_{\epsilon }}d{\omega }_1=0.$$
$S_{\epsilon }$ 上では外向き単位法線は $n=(x,y,z)/\epsilon$ であり、$F\cdot (dy\wedge dz,dz\wedge dx,dx\wedge dy)$ 型の $2$ 次形式の制限は $(F\cdot n)dA$ なので、
$${\omega }_1{|}_{S_{\epsilon }}=\frac{(x,y,z)}{{\epsilon }^3}\cdot \frac{(x,y,z)}{\epsilon }dA=\frac{1}{{\epsilon }^2}dA.$$
よって ${\int }_S{\omega }_1={\int }_{S_{\epsilon }}{\omega }_1=\frac{1}{{\epsilon }^2}\cdot 4\pi {\epsilon }^2=4\pi$。

${\omega }_2$ の積分. ${\omega }_2$ は ${\mathbb{R}}^3$ 全体で滑らかなので、$E$ にストークスの定理を使える。
$$d{\omega }_2=d(x^{2}z)\wedge dx\wedge dy=x^{2}dz\wedge dx\wedge dy=x^{2}dx\wedge dy\wedge dz$$
（$dx,dy$ の項は $dx\wedge dy$ と外積をとると $0$）。よって
$${\int }_S{\omega }_2={\int }_E{x}^{2}dxdydz.$$
$x=2u,y=v,z=3w$ と置換すると、ヤコビアンは $6$ で、$E$ は単位球 $B=\{u^2+v^2+w^2\le 1\}$ に移る。
$${\int }_E{x}^{2}dV={\int }_{B}4u^2\cdot 6dudvdw=24{\int }_B{u}^{2}dV.$$
対称性より ${\int }_B{u}^{2}dV=\frac{1}{3}{\int }_B{\rho }^{2}dV=\frac{1}{3}{\int }_0^1{\rho }^2\cdot 4\pi {\rho }^{2}d\rho =\frac{4\pi }{15}$。したがって
$${\int }_S{\omega }_2=24\cdot \frac{4\pi }{15}=\frac{32\pi }{5}.$$

合計.
$${\int }_S\omega =4\pi +\frac{32\pi }{5}=\frac{52\pi }{5}.$$

$\omega ={\omega }_1+{\omega }_2$ とおく。ここで ${\omega }_1=\frac{xdy\wedge dz+ydz\wedge dx+zdx\wedge dy}{r^3}$、${\omega }_2=x^{2}zdx\wedge dy$ である。

(1) ${\omega }_1$ は ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上で閉形式であり、原点を中心とする単位球面上の積分は $4\pi$ である。原点は $E$ の内部にある。$S$ と、原点を中心とする小さな球面で囲まれた領域に Stokes の定理を使うと、${\int }_S{\omega }_1=4\pi$ を得る。

(2) $d{\omega }_2=x^{2}dz\wedge dx\wedge dy=x^{2}dx\wedge dy\wedge dz$ である。${\omega }_2$ は原点で滑らかなので、Stokes の定理より ${\int }_S{\omega }_2={\iiint }_E{x}^{2}dV$。

$x=2u,y=v,z=3w$ と変数変換すると、ヤコビアンは $6$ で、領域は単位球になる。よって ${\iiint }_E{x}^{2}dV=4\cdot 6{\iiint }_B{u}^{2}dV=24\cdot \frac{4\pi }{15}=\frac{32\pi }{5}$。ここで単位球上の $\iiint u^{2}dV=\frac{1}{3}\int r^{2}dV=\frac{1}{3}\cdot \frac{4\pi }{5}=\frac{4\pi }{15}$ を使った。

合計は $4\pi +\frac{32\pi }{5}=\frac{52\pi }{5}$。