微分幾何の問題

一般のパラメータ表示された正則曲線に対して
$$\kappa =\frac{|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }|}{|c^{\prime }{|}^3},\tau =\frac{\det (c^{\prime },c^{\prime \prime },c^{\prime \prime \prime })}{|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }{|}^2}$$
が成り立つので、$c^{\prime },c^{\prime \prime },c^{\prime \prime \prime }$ を計算する。

$c(t)=e^t(\cos t,\sin t,1)$ を積の微分で順に微分すると
$$c^{\prime }(t)=e^t(\cos t-\sin t,\sin t+\cos t,1),$$
$$c^{\prime \prime }(t)=e^t((\cos t-\sin t)+(-\sin t-\cos t),(\sin t+\cos t)+(\cos t-\sin t),1)=e^t(-2\sin t,2\cos t,1),$$
$$c^{\prime \prime \prime }(t)=e^t(-2\sin t-2\cos t,2\cos t-2\sin t,1).$$

$|c^{\prime }|$ の計算. $(\cos t-\sin t{)}^2+(\sin t+\cos t{)}^2=2$ より $|c^{\prime }{|}^2=3e^{2t}$、すなわち $|c^{\prime }|=\sqrt{3}{e}^t$。

外積. $e^t$ をくくり出して成分ごとに計算すると
$$c^{\prime }\times c^{\prime \prime }=e^{2t}(\sin t-\cos t,-\sin t-\cos t,2).$$
実際、第 $3$ 成分は $(\cos t-\sin t)\cdot 2\cos t-(\sin t+\cos t)(-2\sin t)=2{\cos }^{2}t+2{\sin }^{2}t=2$、第 $1$ 成分は $(\sin t+\cos t)-2\cos t=\sin t-\cos t$、第 $2$ 成分は $-2\sin t-(\cos t-\sin t)=-\sin t-\cos t$ である。よって
$$|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }{|}^2=e^{4t}((\sin t-\cos t{)}^2+(\sin t+\cos t{)}^2+4)=6e^{4t}.$$

曲率.
$$\kappa (t)=\frac{\sqrt{6}{e}^{2t}}{(\sqrt{3}{e}^t{)}^3}=\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}{e}^{-t}=\frac{\sqrt{2}}{3}{e}^{-t}.$$

行列式. $\det (c^{\prime },c^{\prime \prime },c^{\prime \prime \prime })=(c^{\prime }\times c^{\prime \prime })\cdot c^{\prime \prime \prime }$ であり
$$\begin{array}{rl}(c^{\prime }\times c^{\prime \prime })\cdot c^{\prime \prime \prime }& =e^{3t}[(\sin t-\cos t)(-2)(\sin t+\cos t)+(-\sin t-\cos t)\cdot 2(\cos t-\sin t)+2]\\ & =e^{3t}[-2({\sin }^{2}t-{\cos }^{2}t)-2({\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t)+2]=2e^{3t}.\end{array}$$

ねじれ率.
$$\tau (t)=\frac{2e^{3t}}{6e^{4t}}=\frac{1}{3}{e}^{-t}.$$

したがって
$$\frac{\tau (t)}{\kappa (t)}=\frac{\frac{1}{3}{e}^{-t}}{\frac{\sqrt{2}}{3}{e}^{-t}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
（比が一定なので、ランクレの定理によりこの曲線は一般螺旋である。）

$c^{\prime }(t)=e^t(\cos t-\sin t,\sin t+\cos t,1)$, $c^{\prime \prime }(t)=e^t(-2\sin t,2\cos t,1)$, $c^{\prime \prime \prime }(t)=e^t(-2\sin t-2\cos t,2\cos t-2\sin t,1)$。以下 $C=\cos t,S=\sin t$ とし、$e^t$ をくくり出したベクトルを $a,b,d$ とする。

外積: $a\times b=(S-C,-S-C,2)$。よって $|a\times b{|}^2=(S-C{)}^2+(S+C{)}^2+4=6$。したがって $|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }{|}^2=6e^{4t}$、$|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }|=\sqrt{6}{e}^{2t}$。

行列式: $(a\times b)\cdot d=(S-C)(-2S-2C)+(-S-C)(2C-2S)+2=-2(S^2-C^2)+2(S^2-C^2)+2=2$。よって $\det (c^{\prime },c^{\prime \prime },c^{\prime \prime \prime })=2e^{3t}$。

ねじれ率: $\tau =\frac{2e^{3t}}{6e^{4t}}=\frac{1}{3}{e}^{-t}$。

曲率: $|c^{\prime }{|}^2=e^{2t}\{(C-S{)}^2+(S+C{)}^2+1\}=3e^{2t}$ より $|c^{\prime }{|}^3=3\sqrt{3}{e}^{3t}$。$\kappa =\frac{|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }|}{|c^{\prime }{|}^3}=\frac{\sqrt{6}{e}^{2t}}{3\sqrt{3}{e}^{3t}}=\frac{\sqrt{2}}{3}{e}^{-t}$。

比: $\frac{\tau }{\kappa }=\frac{1/3}{\sqrt{2}/3}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

検算: $t=0$ で $c^{\prime }=(1,1,1)$, $c^{\prime \prime }=(0,2,1)$, $c^{\prime \prime \prime }=(-2,2,1)$。$c^{\prime }\times c^{\prime \prime }=(1-2,0-1,2)=(-1,-1,2)$、$|\cdot {|}^2=6$。$\det =(-1,-1,2)\cdot (-2,2,1)=2-2+2=2$。$\tau =1/3$、$\kappa =\sqrt{6}/(3\sqrt{3})=\sqrt{2}/3$。一致。