微分幾何の問題

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(t,\frac{t^2}{2},\frac{t^3}{3}\right)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$t=1$ に対応する点における曲率 $\kappa$ とねじれ率 $\tau$ の組 $(\kappa ,\tau )$ をこの順に求めよ。ただし、ねじれ率は $\tau =\frac{(c^{\prime }\times c^{\prime \prime })\cdot c^{\prime \prime \prime }}{|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }{|}^2}$（フレネ・セレの公式で $\frac{d\mathbf{b}}{ds}=-\tau \mathbf{n}$ となる符号）で定める。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(e^t\cos t,e^t\sin t,e^t\right)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$c$ の $t$ に対応する点での曲率を $\kappa (t)$、ねじれ率を $\tau (t)$ とする。ただし、ねじれ率の符号は
$$\tau =\frac{\det (c^{\prime }(t),c^{\prime \prime }(t),c^{\prime \prime \prime }(t))}{|c^{\prime }(t)\times c^{\prime \prime }(t){|}^2}$$
で定める（右巻きの常螺旋 $(\cos t,\sin t,t)$ のねじれ率が正になる流儀）。このとき、比 $\frac{\tau (t)}{\kappa (t)}$ は $t$ によらない定数になる。その値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$\gamma (t)=\left(t,t^2,\frac{2}{3}{t}^3\right)(t\in \mathbb{R})$$
のねじれ率を $\tau (t)$ とする。曲線全体にわたる全ねじれ率
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\tau (t)|{\gamma }^{\prime }(t)|dt$$
の値を求めよ。ただし、ねじれ率は $\tau =\frac{({\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{\prime \prime })\cdot {\gamma }^{\prime \prime \prime }}{|{\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{\prime \prime }{|}^2}$ で定める。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面を
$$X(u,v)=\left(u,v,u^2+4uv+v^2\right)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
で表し、${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。単位法線ベクトルを $\nu =\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}$ と定める。原点 $X(0,0)=(0,0,0)$ における主曲率を ${\kappa }_1,{\kappa }_2$（${\kappa }_1\ge {\kappa }_2$）とするとき、組 $({\kappa }_1,{\kappa }_2)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面を
$$X(u,v)=\left(u,v,u^2+uv+2v^2\right)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
で表し、${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。単位法線ベクトルを $\nu =\frac{X_u\times X_v}{|X_u\times X_v|}$ と定め、第二基本形式の係数を $L=X_{uu}\cdot \nu ,M=X_{uv}\cdot \nu ,N=X_{vv}\cdot \nu$ とする。原点 $X(0,0)=(0,0,0)$ におけるガウス曲率 $K$ と平均曲率 $H=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}$ を求め、組 $(K,H)$ の形で答えよ。