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微分幾何の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学微分幾何

$R^{3}$ の座標を $(x, y, z)$ とし、 $1$ 次微分形式
$α = y^{2} d x + x d z$
を考える。 $3$ 次微分形式 $α \land d α$ を
$α \land d α = f (x, y, z) d x \land d y \land d z$
と表すとき、関数 $f (x, y, z)$ を求めよ。

この問題で使うもの

微分形式の外積と外微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（44 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

微分形式の外微分 $d$ と外積 $\land$ の計算を使う。まず $d α$ を求めよう。

ヒント 2

$d (g d h) = d g \land d h$ より $d α = 2 y d y \land d x + d x \land d z$ 。外積では同じ $1$ 次形式を 2 回含む項は $0$ になる。

ヒント 3

$α \land d α$ で残る項は $x d z \land 2 y d y \land d x$ だけである。あとは $d z \land d y \land d x$ を $d x \land d y \land d z$ に並べ替えたときの符号を調べる。

答えと解説

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- 2 x y

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解説を読む

外微分を計算する。 $1$ 次形式 $g d h$ の外微分は $d (g d h) = d g \land d h$ である。
$d (y^{2}) = 2 y d y, d (x) = d x$
だから
$d α = 2 y d y \land d x + d x \land d z .$

外積を計算する。 同じ $1$ 次形式を $2$ 回含む外積は $0$ （ $d x \land d x = 0$ など）であることに注意して展開する。
$α \land d α = (y^{2} d x + x d z) \land (2 y d y \land d x + d x \land d z) .$
4 つの項を順に見る。
- $y^{2} d x \land 2 y d y \land d x = 0$ （ $d x$ が 2 回現れる）
- $y^{2} d x \land d x \land d z = 0$
- $x d z \land 2 y d y \land d x = 2 x y d z \land d y \land d x$
- $x d z \land d x \land d z = 0$ （ $d z$ が 2 回現れる）

したがって $α \land d α = 2 x y d z \land d y \land d x$ である。

並べ替える。 $d z \land d y \land d x$ は $d x \land d y \land d z$ の $d x$ と $d z$ を入れ替えたもの（互換 1 回）なので、反対称性 $d x \land d z = - d z \land d x$ などから
$d z \land d y \land d x = - d x \land d y \land d z .$
よって
$α \land d α = - 2 x y d x \land d y \land d z$
となり、 $f (x, y, z) = - 2 x y$ である。

別解

$d α = 2 y d y \land d x + d x \land d z = - 2 y d x \land d y + d x \land d z$ 。

$α \land d α = (y^{2} d x + x d z) \land (- 2 y d x \land d y + d x \land d z)$ 。

$y^{2} d x \land (- 2 y d x \land d y) = 0$ （ $d x \land d x = 0$ ）
$y^{2} d x \land d x \land d z = 0$
$x d z \land (- 2 y d x \land d y) = - 2 x y d z \land d x \land d y = - 2 x y d x \land d y \land d z$ （ $d z \land d x \land d y$ は巡回置換なので $d x \land d y \land d z$ に等しい）
$x d z \land d x \land d z = 0$

よって $f (x, y, z) = - 2 x y$ 。

検算: ベクトル解析での対応 $α = (y^{2}, 0, x)$ について $α \cdot rot α$ を計算する。 $rot α = (\partial_{y} x - \partial_{z} 0, \partial_{z} y^{2} - \partial_{x} x, \partial_{x} 0 - \partial_{y} y^{2}) = (0, - 1, - 2 y)$ 。内積は $y^{2} \cdot 0 + 0 \cdot (- 1) + x (- 2 y) = - 2 x y$ で一致する。

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