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力学（質点・剛体）の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理力学（質点・剛体）

質量 $M$ の惑星のまわりを、質量 $m (m ≪ M)$ の人工衛星が、惑星の中心 O を中心とする半径 $R$ の円軌道で回っている。この円軌道での衛星の速さを $v_{c}$ とする。衛星が軌道上の点 P にあるとき、ごく短い時間エンジンを噴射して、速度の向きを変えずに速さを $α v_{c}$ $(1 < α < 2)$ にした。その後、衛星は惑星の万有引力だけを受けて運動する。惑星は静止しているとみなし、惑星の大きさと大気の影響は無視する。万有引力定数を $G$ とする。

噴射後の衛星の軌道で、O から最も遠い点までの距離を $R$ と $α$ を用いて表せ。

O

P

R

α v_{c}

破線は噴射前の円軌道。矢印は噴射直後の速度

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ヒント

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ヒント 1

噴射後は中心力だけを受けるので、角運動量と力学的エネルギーが保存する。円軌道の条件から $GM = v_{c}^{2} R$ 。

ヒント 2

噴射直後と遠点ではどちらも速度が動径に垂直なので、角運動量は $m r v$ と書ける。

ヒント 3

$u = R / r$ とおくとエネルギー保存は $\frac{α ^{2}}{2} (1 - u^{2}) = 1 - u$ になる。 $u = 1$ 以外の解を求める。

答えと解説

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\frac{α ^{2} R}{2 - α ^{2}}

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円軌道の速さ

半径 $R$ の円軌道では、万有引力が向心力となるので
$\frac{m v _{c}^{2}}{R} = \frac{GM m}{R ^{2}} ⟺ v_{c}^{2} = \frac{GM}{R}$

保存則

噴射後は中心力（万有引力）だけを受けるので、O まわりの角運動量が保存する。また万有引力は保存力なので力学的エネルギーも保存する。

噴射直後、速度は動径 OP に垂直（円軌道の接線方向）なので、P は新しい軌道の近点または遠点である。 $α > 1$ で速さが円軌道より大きいので、P は近点で、O から最も遠い点（遠点）までの距離を $r$ 、そこでの速さを $v$ とする。遠点でも速度は動径に垂直なので
$角運動量 : m R α v_{c} = m r v$
$エネルギー : \frac{1}{2} m α^{2} v_{c}^{2} - \frac{GM m}{R} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{r}$

解く

$u = R / r$ とおくと $v = α v_{c} u$ 。 $GM = v_{c}^{2} R$ を使い、エネルギーの式を $m v_{c}^{2}$ で割ると
$\frac{α ^{2}}{2} - 1 = \frac{α ^{2} u ^{2}}{2} - u ⟺ \frac{α ^{2}}{2} (1 - u^{2}) = 1 - u$
$u = 1$ は P 自身（近点）に対応するので、 $u \neq = 1$ として両辺を $1 - u$ で割ると
$\frac{α ^{2}}{2} (1 + u) = 1 ⟺ u = \frac{2}{α ^{2}} - 1 = \frac{2 - α ^{2}}{α ^{2}}$
$1 < α < 2$ より $0 < u < 1$ で、軌道は楕円（ $α^{2} < 2$ は脱出速度未満）。よって
$r = \frac{R}{u} = \frac{α ^{2} R}{2 - α ^{2}}$

別解

円軌道では万有引力が向心力なので $\frac{m v _{c}^{2}}{R} = \frac{GM m}{R ^{2}}$ 、すなわち $GM = v_{c}^{2} R$ 。
噴射後、P での速さは $α v_{c}$ で、速度の向きは変わらず軌道の接線方向（動径に垂直）。 $1 < α < 2$ なので、全エネルギー $\frac{1}{2} m α^{2} v_{c}^{2} - \frac{GM m}{R} = \frac{1}{2} m v_{c}^{2} (α^{2} - 2) < 0$ で束縛された楕円軌道になり、P は近点（O に最も近い点）になる。
遠点（O から最も遠い点）の距離を $r$ 、そこでの速さを $v$ とする（速度は動径に垂直）。
角運動量保存: $m R \cdot α v_{c} = m r v \Rightarrow v = \frac{α R v _{c}}{r}$
エネルギー保存:
$\frac{1}{2} α^{2} v_{c}^{2} - \frac{v _{c}^{2} R}{R} = \frac{1}{2} v^{2} - \frac{v _{c}^{2} R}{r}$
$\frac{1}{2} α^{2} v_{c}^{2} - v_{c}^{2} = \frac{1}{2} \frac{α ^{2} R ^{2} v _{c}^{2}}{r ^{2}} - \frac{v _{c}^{2} R}{r}$
両辺を $\frac{1}{2} v_{c}^{2}$ で割り、 $u = R / r$ とおく:
$α^{2} - 2 = α^{2} u^{2} - 2 u \Rightarrow α^{2} u^{2} - 2 u - (α^{2} - 2) = 0$
$u = 1$ は近点（P）に対応する解: $α^{2} - 2 - α^{2} + 2 = 0$ ✓。解と係数の関係より他方の解は $u = \frac{- ( α ^{2} - 2 )}{α ^{2}} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2 - α ^{2}}{α ^{2}}$ 。
$r = \frac{R}{u} = \frac{α ^{2} R}{2 - α ^{2}}$
検算: 長半径 $a$ はエネルギーから $- \frac{GM m}{2 a} = \frac{1}{2} m v_{c}^{2} (α^{2} - 2)$ より $a = \frac{R}{2 - α ^{2}}$ 。遠点の距離は $2 a - R = \frac{2 R}{2 - α ^{2}} - R = \frac{α ^{2} R}{2 - α ^{2}}$ で一致。 $α = 1$ のとき $r = R$ （円軌道）、 $α \to 2$ のとき $r \to \infty$ （脱出速度）で妥当。

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