力学（質点・剛体）の問題

質量 $M$ の惑星（中心 $\mathrm{O}$）のまわりを、人工衛星が半径 $R$ の円軌道で回っている。衛星を半径 $4R$ の円軌道に移すため、次の 2 回の加速を行う。まず円軌道上の点 $\mathrm{P}$ で進行方向に瞬間的に加速し、$\mathrm{O}$ に最も近い点が $\mathrm{P}$（$\mathrm{O}$ からの距離 $R$）、最も遠い点が $\mathrm{A}$（$\mathrm{O}$ からの距離 $4R$）の楕円軌道に移す。次に $\mathrm{A}$ に達したとき進行方向に瞬間的に加速し、半径 $4R$ の円軌道に移す。2 回の加速による速さの増加の合計を $\Delta v$、半径 $R$ の円軌道での速さを $v_c$ とするとき、$\frac{\Delta v}{v_c}$ を根号を用いた正確な値で求めよ。ただし、惑星は静止しているとみなし、衛星には惑星の万有引力（ポテンシャル $-\frac{GMm}{r}$、$m$ は衛星の質量、$G$ は万有引力定数）以外の力ははたらかないものとする。加速による衛星の質量の変化は無視する。

質量 $M$ の惑星のまわりを、質量 $m(m\ll M)$ の人工衛星が、惑星の中心 O を中心とする半径 $R$ の円軌道で回っている。この円軌道での衛星の速さを $v_c$ とする。衛星が軌道上の点 P にあるとき、ごく短い時間エンジンを噴射して、速度の向きを変えずに速さを $\alpha v_c$ $\left(1<\alpha <\sqrt{2}\right)$ にした。その後、衛星は惑星の万有引力だけを受けて運動する。惑星は静止しているとみなし、惑星の大きさと大気の影響は無視する。万有引力定数を $G$ とする。

噴射後の衛星の軌道で、O から最も遠い点までの距離を $R$ と $\alpha$ を用いて表せ。

内側の半径が $10.0\mathrm{cm}$ の円筒形の容器に水を入れ、容器の中心軸を鉛直にして、中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega =12.0rad/s$ で回転させた。十分時間がたつと、水は容器とともに一体となって回転し、容器とともに回転する座標系で静止した。このとき、水面の容器の内壁での高さと中心軸上での高さの差は何 $\mathrm{cm}$ か、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $g=9.80m/{\mathrm{s}}^2$ とし、水は容器からあふれず、容器の底は水面より下で露出しないものとする。表面張力は無視する。

質量 $m$ の質点が、固定された点 $\mathrm{O}$ を中心とするポテンシャル $U(r)=\alpha r^4$（$r$ は $\mathrm{O}$ からの距離、$\alpha$ は正の定数）の中で、$\mathrm{O}$ のまわりの角運動量の大きさ $L(>0)$ をもって平面運動している。質点の軌道が半径 $r_c$ の円軌道からわずかにずれているとき、動径 $r$ は $r_c$ のまわりで角振動数 ${\omega }_r$ の微小振動をする。円軌道を回る角速度を ${\omega }_{\phi }$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_r}{{\omega }_{\phi }}$ を正確な値で求めよ。ただし、$r_c$ は同じ $L$ をもつ円軌道の半径であり、${\omega }_{\phi }$ はその円軌道での角速度とする。質点にはこの中心力以外の力ははたらかないものとする。

なめらかな水平な台に小さな穴 $\mathrm{O}$ があいている。軽くて伸びない糸を穴に通し、台の上の端に質量 $m$ の小物体 $\mathrm{P}$ を、台の下にたらした端に質量 $2m$ のおもりをつける。おもりは鉛直線上だけを運動するものとする。

はじめ、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{O}$ から距離 $r_0$ の位置にあり、糸はぴんと張っている。この瞬間、おもりは静止しており、$\mathrm{P}$ には糸に垂直な水平方向の初速度（大きさ $v_0$）を与えた。その後、$\mathrm{P}$ は台の上を運動し、$\mathrm{O}$ からの距離は $r_0$ と $2r_0$ のあいだで増減をくり返した。

$v_0$ を $g$, $r_0$ で表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、台・穴と糸のあいだの摩擦や空気抵抗は無視する。糸は運動のあいだたるまず、$\mathrm{P}$ が穴に達することや、おもりが台に当たることはないものとする。