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力学（質点・剛体）の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理力学（質点・剛体）

質量 $M$ の惑星（中心 $O$ ）のまわりを、人工衛星が半径 $R$ の円軌道で回っている。衛星を半径 $4 R$ の円軌道に移すため、次の 2 回の加速を行う。まず円軌道上の点 $P$ で進行方向に瞬間的に加速し、 $O$ に最も近い点が $P$ （ $O$ からの距離 $R$ ）、最も遠い点が $A$ （ $O$ からの距離 $4 R$ ）の楕円軌道に移す。次に $A$ に達したとき進行方向に瞬間的に加速し、半径 $4 R$ の円軌道に移す。2 回の加速による速さの増加の合計を $Δ v$ 、半径 $R$ の円軌道での速さを $v_{c}$ とするとき、 $\frac{Δ v}{v _{c}}$ を根号を用いた正確な値で求めよ。ただし、惑星は静止しているとみなし、衛星には惑星の万有引力（ポテンシャル $- \frac{GM m}{r}$ 、 $m$ は衛星の質量、 $G$ は万有引力定数）以外の力ははたらかないものとする。加速による衛星の質量の変化は無視する。

O

P

A

R

4 R

破線は P から A へ向かう楕円軌道の部分

この問題で使うもの

円軌道の人工衛星の速さと周期（説明と入口の問題）
楕円軌道の速さ（面積速度一定とエネルギー保存）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（73 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

円軌道の速さは万有引力と向心力のつり合いから、楕円軌道の $P$ , $A$ での速さは角運動量保存と力学的エネルギー保存から求める。

ヒント 2

$P$ , $A$ では速度が動径に垂直なので、角運動量保存は $R v_{P} = 4 R v_{A}$ 。

ヒント 3

$v_{P}^{2} = \frac{8}{5} \frac{GM}{R}$ となる。 $Δ v = (v_{P} - v_{c}) + (v_{4 R} - v_{A})$ を計算する。

答えと解説

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\frac{3 10 - 5}{10}

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解説を読む

$μ = GM$ とおく。

円軌道の速さ

半径 $r$ の円軌道では、万有引力が向心力になるので $\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{μ m}{r ^{2}}$ より $v = μ / r$ 。よって
$v_{c} = \frac{μ}{R}, v_{4 R} = \frac{μ}{4 R} = \frac{v _{c}}{2} .$

楕円軌道の点 $P$ , $A$ での速さ

楕円軌道上では中心力だけがはたらくので、角運動量と力学的エネルギーが保存する。 $P$ と $A$ では速度が $OP$ , $OA$ に垂直なので、それぞれの速さを $v_{P}$ , $v_{A}$ とすると
$m R v_{P} = m \cdot 4 R \cdot v_{A}, (1)$
$\frac{1}{2} m v_{P}^{2} - \frac{μ m}{R} = \frac{1}{2} m v_{A}^{2} - \frac{μ m}{4 R} . (2)$
$(1)$ より $v_{A} = v_{P} /4$ 。 $(2)$ に代入して
$\frac{1}{2} v_{P}^{2} (1 - \frac{1}{16}) = \frac{μ}{R} (1 - \frac{1}{4}), v_{P}^{2} = \frac{8}{5} \frac{μ}{R} .$
よって
$v_{P} = \frac{8}{5} v_{c} = \frac{2 10}{5} v_{c}, v_{A} = \frac{v _{P}}{4} = \frac{10}{10} v_{c} .$

速さの増加

1 回目: $Δ v_{1} = v_{P} - v_{c} = (\frac{2 10}{5} - 1) v_{c}$ 。

2 回目: $Δ v_{2} = v_{4 R} - v_{A} = (\frac{1}{2} - \frac{10}{10}) v_{c}$ 。

合計は
$Δ v = (\frac{4 10}{10} - \frac{10}{10} - \frac{1}{2}) v_{c} = (\frac{3 10}{10} - \frac{1}{2}) v_{c} = \frac{3 10 - 5}{10} v_{c} .$
よって $\frac{Δ v}{v _{c}} = \frac{3 10 - 5}{10} (\approx 0.449)$ 。

別解

半径 $R$ の円軌道の速さは $\frac{m v _{c}^{2}}{R} = \frac{GM m}{R ^{2}}$ より $v_{c} = \frac{GM}{R}$ 。

【1 回目の加速】楕円軌道上の P（距離 $R$ ）での速さを $v_{P}$ 、A（距離 $4 R$ ）での速さを $v_{A}$ とする。角運動量保存より $R v_{P} = 4 R v_{A}$ 、すなわち $v_{A} = \frac{v _{P}}{4}$ 。エネルギー保存より
$\frac{1}{2} v_{P}^{2} - \frac{GM}{R} = \frac{1}{2} v_{A}^{2} - \frac{GM}{4 R}$ 。
$v_{A} = v_{P} /4$ を代入すると $\frac{1}{2} v_{P}^{2} (1 - \frac{1}{16}) = \frac{3 GM}{4 R}$ 、 $\frac{15}{32} v_{P}^{2} = \frac{3 GM}{4 R}$ 、よって $v_{P}^{2} = \frac{8}{5} \frac{GM}{R}$ 、 $v_{P} = \frac{8}{5} v_{c}$ 。

$Δ v_{1} = v_{P} - v_{c} = (\frac{8}{5} - 1) v_{c}$ 。

【A での速さ】 $v_{A} = \frac{v _{P}}{4} = \frac{1}{4} \frac{8}{5} v_{c} = \frac{1}{10} v_{c}$ 。

【2 回目の加速】半径 $4 R$ の円軌道の速さは $\frac{GM}{4 R} = \frac{v _{c}}{2}$ 。
$Δ v_{2} = \frac{v _{c}}{2} - \frac{v _{c}}{10} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{10}) v_{c}$ 。

【合計】
$\frac{Δ v}{v _{c}} = \frac{8}{5} - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{2 10}{5} - \frac{10}{10} - \frac{1}{2} = \frac{3 10}{10} - \frac{1}{2}$ 。

検算: 数値で $Δ v_{1} / v_{c} \approx 1.2649 - 1 = 0.2649$ 、 $Δ v_{2} / v_{c} \approx 0.5 - 0.3162 = 0.1838$ 、合計 $0.4487$ 。 $\frac{3 10}{10} - \frac{1}{2} \approx 0.9487 - 0.5 = 0.4487$ で一致。

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