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力学（質点・剛体）の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理力学（質点・剛体）

質量 $M$ の恒星 $S$ の重力だけを受けて、探査機が運動する。恒星は静止しているとみなし、探査機の質量は $M$ に比べて十分小さいとする。 $G$ を万有引力定数とする。

探査機は恒星から十分遠く離れたところから、速さ $v_{\infty}$ で近づいてくる。遠方での探査機の速度の向きにそった直線と $S$ の距離（衝突パラメータ）は
$b = \frac{3 GM}{v _{\infty}^{2}}$
である。探査機は恒星の表面にふれることなく恒星のそばを通過し、再び十分遠くへ飛び去った。

飛び去ったあとの十分遠方での探査機の速度の向きが、近づいてくるときの速度の向きから変わった角（偏向角） $χ$ （ $0 < χ < π$ ）を、弧度法で求めよ。

S

v_{\infty}

b

M

近づいてくるときのようす（図は正確とは限りません）

この問題で使うもの

ケプラー問題の軌道（説明と入口の問題）
角運動量とトルク（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（141 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

角運動量 $L = mb v_{\infty}$ と力学的エネルギー $E = \frac{1}{2} m v_{\infty}^{2}$ が保存します。 $E > 0$ なので軌道は双曲線です。

ヒント 2

軌道は $\frac{1}{r} = \frac{GM m ^{2}}{L ^{2}} (1 + e cos φ)$ 、離心率は $e = 1 + \frac{2 E L ^{2}}{m ( GM m ) ^{2}}$ です。 $e$ を $b$ , $v_{\infty}$ で表しましょう。

ヒント 3

$e = 2$ になります。 $r \to \infty$ となる 2 つの向き $cos φ = - \frac{1}{e}$ のあいだの角から、速度の向きの変化を求めます。

答えと解説

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\frac{π}{3}

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解説を読む

探査機の質量を $m$ とする。恒星の重力は $S$ に向かう中心力なので、 $S$ のまわりの角運動量 $L$ が保存する。また重力は保存力なので力学的エネルギー $E$ も保存する。遠方での値から
$E = \frac{1}{2} m v_{\infty}^{2} > 0, L = mb v_{\infty} .$
$E > 0$ なので軌道は $S$ を焦点とする双曲線である。

軌道の式 極座標 $(r, φ)$ で、 $u = 1/ r$ とおくと、ポテンシャル $- \frac{GM m}{r}$ に対する軌道の方程式（ビネの式）は
$\frac{d ^{2} u}{d φ ^{2}} + u = \frac{GM m ^{2}}{L ^{2}} .$
解は（近点の向きを $φ = 0$ として）
$\frac{1}{r} = \frac{GM m ^{2}}{L ^{2}} (1 + e cos φ),$
ここで離心率 $e$ は、エネルギーとの関係から
$e = 1 + \frac{2 E L ^{2}}{m ( GM m ) ^{2}} .$

離心率の計算
$\frac{2 E L ^{2}}{m ( GM m ) ^{2}} = \frac{m v _{\infty}^{2} \cdot m ^{2} b ^{2} v _{\infty}^{2}}{m \cdot G ^{2} M ^{2} m ^{2}} = \frac{b ^{2} v _{\infty}^{4}}{G ^{2} M ^{2}} = 3$
（ $b = 3 GM / v_{\infty}^{2}$ を代入した）。よって $e = 1 + 3 = 2$ 。

漸近線の向き $r \to \infty$ となるのは $1 + e cos φ = 0$ 、すなわち $cos φ = - \frac{1}{2}$ のときで、 $φ = \pm \frac{2 π}{3}$ である。探査機は $φ = - \frac{2 π}{3}$ の方向の遠方から来て、 $φ = + \frac{2 π}{3}$ の方向の遠方へ去る。この間に動径の向きが回る角は $\frac{4 π}{3}$ である。

遠方では速度の向きは動径の向きと一致する（近づくときは $S$ に向かう向き、去るときは $S$ から離れる向き）。近づくときの速度の向きは「 $φ = - \frac{2 π}{3}$ の方向の反対向き」、去るときは「 $φ = + \frac{2 π}{3}$ の方向」なので、速度の向きの変化は
$χ = \frac{4 π}{3} - π = \frac{π}{3} .$

（確認： $tan \frac{χ}{2} = \frac{1}{e ^{2} - 1} = \frac{GM}{b v _{\infty}^{2}} = \frac{1}{3}$ からも $χ = \frac{π}{3}$ 。）

別解

双曲線軌道。無限遠でのエネルギー $E = \frac{1}{2} m v_{\infty}^{2}$ 、角運動量 $L = mb v_{\infty}$ 。離心率 $e = 1 + \frac{2 E L ^{2}}{m ( GM m ) ^{2}} = 1 + \frac{b ^{2} v _{\infty}^{4}}{G ^{2} M ^{2}}$ 。\n $b = \frac{3 GM}{v _{\infty}^{2}}$ なので $\frac{b v _{\infty}^{2}}{GM} = 3$ , $e = 1 + 3 = 2$ 。\n漸近線のなす角: 軌道は $r = \frac{p}{1 + e c o s φ}$ で、 $r \to \infty$ は $cos φ = - 1/ e$ 。偏向角 $χ = 2 φ_{\infty} - π$ で $sin \frac{χ}{2} = \frac{1}{e}$ （または $tan \frac{χ}{2} = \frac{GM}{b v _{\infty}^{2}}$ ）。\n $tan \frac{χ}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{χ}{2} = \frac{π}{6} \Rightarrow χ = \frac{π}{3}$ 。\n検算: $sin \frac{χ}{2} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{1}{e}$ ✓。

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