コリオリ力

回転座標系での運動方程式 $m a^{'} = F - 2 m Ω \times v^{'} - m Ω \times (Ω \times r)$ を使って、コリオリ力の向きと大きさを求め、地球上の落下物の東へのずれ（ $Ω$ の 1 次）や水平に動く物体の横向きの加速度を求められる

前提

回転座標系と遠心力（大学物理力学（質点・剛体））
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）

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算数中学高校大学大学院

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回転座標系と遠心力（大学物理力学（質点・剛体））
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順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）

説明

一定の角速度ベクトル $Ω$ で回転する座標系（たとえば自転する地球に固定した座標系）で物体の運動を記述すると、遠心力 $- m Ω \times (Ω \times r)$ のほかに、回転系に対して速度 $v^{'}$ で動く物体にだけはたらくコリオリ力 $- 2 m Ω \times v^{'}$ が現れます。運動方程式は $m a^{'} = F - 2 m Ω \times v^{'} - m Ω \times (Ω \times r)$ です。この技能では外積を使ってコリオリ力の向きと大きさを求め、北半球で水平に動く物体が進行方向の右へそれる加速度や、高い所から落とした物体が東へずれる量などを求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

回転系に固定されたベクトル $A$ （大きさ・向きが回転系では変わらないもの）は、慣性系から見ると角速度 $Ω$ で回っています。等速円運動する点の速度が $Ω \times r$ と書けるのと同じ理由で、慣性系から見た $A$ の変化の割合は $Ω \times A$ です（大きさは $Ω∣ A ∣ sin θ$ 、 $θ$ は $Ω$ と $A$ のなす角、向きは回転方向）。 $A$ が回転系でも変化するときは、回転系での変化の割合にこれが加わり、
$(\frac{d A}{d t})_{慣性系} = (\frac{d A}{d t})_{回転系} + Ω \times A$
となります。

これを位置 $r$ に使うと、慣性系での速度は $v = v^{'} + Ω \times r$ （ $v^{'}$ は回転系での速度）。もう一度この関係を $v$ に使うと（ $Ω$ は一定）
$a = (\frac{d}{d t})_{回転系} (v^{'} + Ω \times r) + Ω \times (v^{'} + Ω \times r) = a^{'} + 2 Ω \times v^{'} + Ω \times (Ω \times r)$
となります。 $Ω \times v^{'}$ は「回転系での変化」と「回転による向きの変化」から 1 つずつ出てくるので係数が 2 になります。慣性系の運動方程式 $m a = F$ に代入して移項すれば、回転系の運動方程式 $m a^{'} = F - 2 m Ω \times v^{'} - m Ω \times (Ω \times r)$ が得られます。最後の項は回転軸から外向きで大きさ $m Ω^{2} r_{⊥}$ （ $r_{⊥}$ は回転軸からの距離）の遠心力、真ん中の項がコリオリ力です。

コリオリ力は速度 $v^{'}$ に垂直なので仕事をせず、速さは変えずに進行方向だけを曲げます。 $Ω$ が上向き成分をもつ北半球では、水平に動く物体は進行方向に対して右へ曲げられます。地球の自転の角速度 $Ω \approx 7.3 \times 1 0^{- 5} rad/s$ はとても小さいので、ふつうは $Ω$ の 1 次の項（コリオリ力）だけを残し、 $Ω^{2}$ の遠心力は重力に含めるか無視します。

手順

回転系に直交座標をとる。地表なら $x$ 軸を東、 $y$ 軸を北、 $z$ 軸を鉛直上向き（ $e_{x} \times e_{y} = e_{z}$ の右手系）とする。
角速度ベクトル $Ω$ を成分で書く。北緯 $φ$ の地点では $Ω = (0, Ω cos φ, Ω sin φ)$ 。
回転系での速度 $v^{'}$ を成分で書き、外積 $Ω \times v^{'}$ を計算して、コリオリ力 $- 2 m Ω \times v^{'}$ （加速度なら $- 2 Ω \times v^{'}$ ）を求める。
運動方程式 $m a^{'} = F - 2 m Ω \times v^{'} - m Ω \times (Ω \times r)$ に入れ、 $Ω$ の 2 次の項は問題の指示に従って無視するか重力に含める。
求める成分（横向きの加速度など）を取り出す。ずれの量を求めるときは、 $Ω = 0$ のときの運動の $v^{'}$ をコリオリ力の式に代入し、時間で積分する（ $Ω$ の 1 次の近似）。

例題

地球は一定の角速度の大きさ $Ω$ で自転している。北緯 $6 0^{\circ}$ の地点で、地表に対して真東向きに水平に速さ $v$ で動いている物体がある。地表に固定した座標系で見たとき、この物体にはたらくコリオリ力による加速度の、水平成分の大きさを $Ω$ , $v$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: 地表に固定した座標系で、 $x$ 軸を東、 $y$ 軸を北、 $z$ 軸を鉛直上向きにとる。

手順 2: 地球の自転軸は北極の向きを向き、北緯 $φ$ の地点では水平面（北向き）から角 $φ$ だけ上に傾いている。 $φ = \frac{π}{3}$ なので
$Ω = (0, Ω cos \frac{π}{3}, Ω sin \frac{π}{3}) = (0, \frac{Ω}{2}, \frac{3 Ω}{2})$

手順 3: $v^{'} = (v, 0, 0)$ 。外積 $(Ω_{y} v_{z}^{'} - Ω_{z} v_{y}^{'}, Ω_{z} v_{x}^{'} - Ω_{x} v_{z}^{'}, Ω_{x} v_{y}^{'} - Ω_{y} v_{x}^{'})$ を計算すると
$Ω \times v^{'} = (0, \frac{3}{2} Ω v, - \frac{1}{2} Ω v)$
コリオリ力による加速度は
$- 2 Ω \times v^{'} = (0, - 3 Ω v, Ω v)$

手順 5: 水平成分は $y$ 成分だけで、 $- 3 Ω v$ （南向き、つまり東へ進む物体の右向き）。その大きさは $3 Ω v$ 。鉛直成分 $Ω v$ は上向きで、水平成分には含まれない。（運動方程式に入れて積分する手順 4 は、今回は加速度を求めるだけなので不要。）

答え: $3 Ω v$

よくある誤り

コリオリ力の係数 2 を落として $- m Ω \times v^{'}$ としてしまう誤り。回転系での速度の変化と、回転による向きの変化の 2 つから同じ形の項が出るので、正しくは $- 2 m Ω \times v^{'}$ 。
外積の順序や符号を逆にして $+ 2 m Ω \times v^{'}$ や $- 2 m v^{'} \times Ω$ としてしまう誤り。そうすると北半球で東に進む物体が北（左）へ曲がるという逆の結論になる。正しくは $- 2 m Ω \times v^{'}$ で、北半球では進行方向の右（東向きなら南）へ曲がる。
地表での $Ω$ を鉛直上向き $(0, 0, Ω)$ や北向き水平 $(0, Ω, 0)$ としてしまう誤り。自転軸は水平面から緯度 $φ$ だけ傾いているので、正しくは $Ω = (0, Ω cos φ, Ω sin φ)$ 。水平運動の横向きの加速度の大きさは $2Ω v sin φ$ で $sin φ$ に、落下物の東へのずれは $cos φ$ に比例する。
落下物の東へのずれを求めるとき、コリオリ力を一定として $\frac{1}{2} (2Ω g cos φ) t^{2}$ のように計算してしまう誤り。落下速度 $g t$ は時間とともに増えるので、東向きの加速度 $2Ω g t cos φ$ を 2 回積分して、正しくは $x = \frac{1}{3} Ω g t^{3} cos φ$ 。高さ $h$ から静かに落とすと $t = 2 h / g$ を代入して $x = \frac{2}{3} Ω h cos φ \frac{2 h}{g}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
地球は、地軸のまわりに一定の角速度 $Ω$ で自転している（角速度ベクトルは南極から北極の向き）。北緯 $φ$ （ $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）の地点で、質量 $m$ の物体が水平な地面に沿って真北に、地面に対して一定の速さ $v$ で動いている。
地球とともに回転する座標系で見たとき、この物体にはたらくコリオリ力の水平成分の大きさを、 $m$ , $Ω$ , $v$ , $φ$ を用いて表せ。ただし、地球は球とみなす。
$O$ $P$ $Ω$ $v$ （北向き） $φ$
地軸を含む断面（P が物体のいる地点）

コリオリ力

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題