力学（質点・剛体）の問題

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面には、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R$ の半円形の断面をもつ溝がほられており、溝の内面はなめらかである。溝の断面は鉛直面内にあり、台はこの面内で床にそって水平方向にだけ動ける。

はじめ台は静止しており、質量 $m$ の小球を溝の内面上の点で静かに放す。放す点は、$\mathrm{O}$ と結んだ線分が鉛直下向きと $60^{\circ }$ の角をなす位置にある。小球の大きさは無視でき、小球は溝の断面を含む鉛直面内で溝の内面にそって運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

小球がはじめて溝の最下点を通過する瞬間に、小球が溝の内面から受ける垂直抗力の大きさを、$m$, $M$, $g$ を用いて表せ。

質量 $m$ の質点が、固定された点 $\mathrm{O}$ を中心とするポテンシャル $U(r)=\alpha r^4$（$r$ は $\mathrm{O}$ からの距離、$\alpha$ は正の定数）の中で、$\mathrm{O}$ のまわりの角運動量の大きさ $L(>0)$ をもって平面運動している。質点の軌道が半径 $r_c$ の円軌道からわずかにずれているとき、動径 $r$ は $r_c$ のまわりで角振動数 ${\omega }_r$ の微小振動をする。円軌道を回る角速度を ${\omega }_{\phi }$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_r}{{\omega }_{\phi }}$ を正確な値で求めよ。ただし、$r_c$ は同じ $L$ をもつ円軌道の半径であり、${\omega }_{\phi }$ はその円軌道での角速度とする。質点にはこの中心力以外の力ははたらかないものとする。

内側の半径が $10.0\mathrm{cm}$ の円筒形の容器に水を入れ、容器の中心軸を鉛直にして、中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega =12.0rad/s$ で回転させた。十分時間がたつと、水は容器とともに一体となって回転し、容器とともに回転する座標系で静止した。このとき、水面の容器の内壁での高さと中心軸上での高さの差は何 $\mathrm{cm}$ か、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $g=9.80m/{\mathrm{s}}^2$ とし、水は容器からあふれず、容器の底は水面より下で露出しないものとする。表面張力は無視する。

質量 $M$、長さ $\ell$ の一様な細い棒 $\mathrm{OA}$ の端 $\mathrm{O}$ が、水平な固定軸に取り付けられており、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに鉛直面内でなめらかに（摩擦なく）回転できる。棒を水平に保って静止させ、静かにはなすと、棒は $\mathrm{O}$ のまわりに回転しながら下がっていく。

棒が水平からの角 $\theta$（$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$）だけ下がった位置を通過するとき、軸が棒に及ぼす力の水平成分の大きさは $\theta$ によって変わる。$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ でのその最大値を、$M$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて求めよ。棒の太さと空気抵抗は無視する。

天井に固定した水平な軸のまわりに、質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板でできた滑車がなめらかに（摩擦なく）回転できるように取り付けられている。滑車に軽くて伸びない糸をかけ、糸の一端に質量 $2m$ のおもり $\mathrm{A}$、他端に質量 $m$ のおもり $\mathrm{B}$ をつるす。糸は滑車に対してすべらないものとする。

静かに手を放すと、$\mathrm{A}$ は下降し $\mathrm{B}$ は上昇した。このときの $\mathrm{A}$ の加速度の大きさ $a$ を、$m$, $M$, $g$ を用いて求めよ。ただし、$g$ は重力加速度の大きさであり、空気抵抗は無視する。