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位置によって変わる応力と自重による変形

自重や回転による遠心力・分布荷重で応力が断面ごとに $\sigma (x)$ と変わる棒について、微小部分のひずみ $\sigma (x)/E$ を積分して全体の伸び（例: つり下げた棒で $\frac{\rho g{L}^2}{2E}$）を求め、断面ごとの単軸応力に対する体積ひずみ $\frac{(1-2\nu )\sigma (x)}{E}$ を積分して全体の体積の変化を求められる

前提

• 3 軸応力の一般化フックの法則 （大学物理 材料力学）
• 定積分の計算 （数学II 微分法と積分法）
• 回転座標系と遠心力 （大学物理 力学（質点・剛体））

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 棒の軸に沿って座標 $x$ を決め、位置 $x$ の断面で棒を切る

2. 切った断面より先の部分（自由端側）のつり合いを立て、断面に働く軸力 $N(x)$ を求める。自重なら先の部分の重さ、回転なら先の部分の遠心力の合計 $\int \rho A{\omega }^{2}sds$

3. 応力 $\sigma (x)=\frac{N(x)}{A}$ を求める

4. 全体の伸びを $\delta ={\int }_0^L\frac{\sigma (x)}{E}dx$ で計算する

5. 体積変化が必要なら、$\Delta V={\int }_0^L\frac{(1-2\nu )\sigma (x)}{E}Adx$ を計算する

例題

よくある誤り

• 最大応力で棒全体が一様に伸びるとして $\delta =\frac{{\sigma }_{\max }L}{E}$ としてしまう誤り。つり下げた棒なら $\frac{\rho g{L}^2}{E}$ となり 2 倍の過大評価になる。正しくは $\delta ={\int }_0^L\frac{\sigma (x)}{E}dx=\frac{\rho g{L}^2}{2E}$

• 断面の軸力を、その断面より先の部分ではなく根元側の部分から数えてしまう誤り。つり下げた棒で上端から $x$ をとって $\sigma =\rho gx$ とすると、自由端の下端で応力が最大になってしまう。正しくは上端から $y$ をとれば $\sigma (y)=\rho g(L-y)$ で、固定された上端で最大

• 回転する棒の遠心力を、外側部分の質量を回転軸からの距離 $x$ の位置に集めて $\rho A(L-x){\omega }^{2}x$ としてしまう誤り。正しくは各部分の距離 $s$ が違うので積分して ${\int }_x^L\rho A{\omega }^{2}sds=\frac{\rho A{\omega }^2(L^2-x^2)}{2}$

• 体積ひずみを軸方向のひずみだけ $\frac{\sigma }{E}$ としたり、静水圧の場合の $\frac{3(1-2\nu )\sigma }{E}$ を使ったりしてしまう誤り。正しくは単軸応力なので $\frac{\sigma }{E}-2\cdot \frac{\nu \sigma }{E}=\frac{(1-2\nu )\sigma }{E}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  長さ $L=100\mathrm{m}$ の一様な断面をもつ鋼の棒（線材）の上端を天井に固定し、鉛直につり下げた。棒の下端には何もつけず、棒は自重だけで静止している。鋼の密度を $\rho =7.8\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、縦弾性係数を $E=2.0\times 10^{11}\mathrm{Pa}$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。変形は微小で弾性範囲内にあり、各断面の応力は断面内で一様な単軸応力とみなす。

  自重による棒全体の伸びは何 mm か。有効数字 2 桁で求めよ。

この技能を使う問題

• 難易度 3（期末試験の応用レベル）

  密度 $\rho$、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、長さ $L$、断面積 $A$ の一様な細長い棒がある。この棒の上端を天井に固定し、鉛直につり下げたところ、棒は自身の重さだけによって静かに伸びた。重力加速度の大きさを $g$ とする。

  棒の各断面では鉛直方向の引張応力が断面内で一様に分布し、横方向（水平方向）の応力は $0$ とみなせるものとする。また、ひずみは十分小さく、応力は変形前の寸法で計算してよい（微小変形）。

  つり下げたことによる棒の体積の変化 $\Delta V$ と、つり下げる前の体積 $V=AL$ の比 $\frac{\Delta V}{V}$ を、$\rho ,g,L,E,\nu$ を用いて表せ。

• 難易度 3（期末試験の応用レベル）

  長さ $L$、一様な断面積 $A$ のまっすぐな棒が、上端を天井に固定されて鉛直につり下げられ、自身の重さだけで静止している。棒は密度 $\rho$、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできている。重力加速度の大きさを $g$ とする。

  棒の各断面には、その断面より下の部分の重さによる一様な鉛直方向の引張応力だけがはたらき、側面は自由（側面に垂直な方向の応力は 0）とする。ひずみは十分小さく、応力は変形前の断面積 $A$ と変形前の長さで計算してよく、ひずみの 2 次以上の項は無視する。

  自重による棒全体の体積の増加量 $\Delta V$ を、変形前の体積 $V=AL$ で割った値 $\frac{\Delta V}{V}$ を、$\rho ,g,L,E,\nu$ を用いて表せ。