3 軸応力の一般化フックの法則

直方体のアルミニウムのブロックを、$x$ 方向に向かい合う 2 枚の剛体の壁のあいだに、すき間なく（応力が生じない状態で）はさむ。壁は動かず変形もしないので、ブロックの $x$ 方向のひずみは $0$ に保たれる。$y$ 方向には何もふれておらず自由に変形できる。このブロックの上下の面に、$z$ 方向の一様な圧縮応力 ${\sigma }_z=-100\mathrm{MPa}$ を加える（引張を正とする）。アルミニウムのポアソン比を $\nu =0.3$ とし、ブロックは弾性範囲内で変形し、壁とブロックの間の摩擦は無視できるものとする。温度は変化しない。

このとき壁からブロックに加わる $x$ 方向の垂直応力 ${\sigma }_x$ は何 MPa か。引張を正として、符号を含めた整数で答えよ。

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた直方体がある。直方体の各辺を $x,y,z$ 軸に平行にとる。

直方体の $x$ 軸に垂直な 2 つの面を、互いに平行に固定された 2 枚の剛体の壁に接触させる。壁と直方体の間に摩擦はなく、壁は直方体の $x$ 方向の伸び縮みを完全に妨げる（$x$ 方向のひずみが $0$）。この状態で、$z$ 軸に垂直な 2 つの面に一様な圧縮応力 $p(>0)$ を加える。$y$ 軸に垂直な 2 つの面には何も力を加えない（自由表面）。直方体の内部の応力とひずみは一様で、変形は微小であり、重力は無視できるとする。

変形前の体積を $V$、変形による体積の変化を $\Delta V$ とするとき、体積ひずみ $\frac{\Delta V}{V}$ をひずみの 1 次の近似で $E,\nu ,p$ を用いて表せ（体積が増えるときを正とする）。

両端を閉じた薄肉の円筒形容器がある。円筒部分の肉厚の中心での半径は $a$、肉厚は $t(t\ll a)$、円筒部分の長さは $L$ である。円筒の壁は、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできている。容器の内容積は $V=\pi a^{2}L$ とみなす。

はじめ、容器は大気圧（ゲージ圧 $0$）の液体ですき間なく満たされている（気泡はない）。この容器に同じ液体をポンプで押し込み、容器内のゲージ圧を $p(>0)$ にする。液体の体積弾性率は $K$ であり、圧力変化 $\Delta P$ に対して体積は $\Delta V/V=-\Delta P/K$ にしたがって変化する。容器の外側は常に大気圧である。

次の近似を用いる。
- 薄肉近似：壁の中の半径方向の応力は、周方向・軸方向の応力に比べて無視し、周方向・軸方向の応力は肉厚方向に一様とする。
- 両端のふた（端板）自身の変形は無視する。ただし、円筒部分の軸方向の伸びによる容積変化は考える。
- 変形は微小で、$p$ について 1 次の量までを考える。温度は一定とする。

ゲージ圧を $0$ から $p$ にするために押し込む必要のある液体の体積を、大気圧（ゲージ圧 $0$）のもとで測った値として、$a,t,L,p,E,\nu ,K$ を用いて求めよ。

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、まっすぐな円柱形の棒がある。棒の中心軸を $x$ 軸とする。棒の両端面を、互いに平行な 2 枚の剛体の壁に、すき間なく接触させて置いた。壁は動かず、棒の両端面は壁に沿ってなめらかにすべることができる（端面には $x$ 方向の力だけがはたらく）。最初、棒には応力がない。

この状態で、棒の側面（円柱面）全体に、一様な圧力 $p(p>0)$ を加えた。端面には壁からの力だけがはたらく。棒の内部の応力とひずみは一様で、変形は微小であるとする。このときの棒の体積の減少率 $-\frac{\Delta V}{V}$ を、$p$, $E$, $\nu$ を用いて表せ（$V$ は変形前の体積、$\Delta V$ は体積の変化）。

底面が $40\mathrm{mm}\times 40\mathrm{mm}$ の正方形、高さが $L=100\mathrm{mm}$ のアルミニウム合金の直方体ブロックがある。このブロックを、内のりがちょうど $40\mathrm{mm}\times 40\mathrm{mm}$ の剛体の容器（底と 4 つの側壁をもつ）に、すき間なく、応力のない状態で入れた。容器の底と側壁は変形せず、ブロックとの間に摩擦はないものとする。

鉛直上向きを $z$ 軸の正の向き、水平な 2 つの側壁の法線方向を $x$ 軸、$y$ 軸とする。この状態から、ブロックの上面に剛体の板をのせて鉛直下向きの一様な圧縮応力 $p=30\mathrm{MPa}$ を加え（上面は自由に上下できる）、さらにブロック全体の温度を一様に $\Delta T=20\mathrm{K}$ 上げた。

アルミニウム合金の縦弾性係数を $E=70\mathrm{GPa}$、ポアソン比を $\nu =\frac{1}{3}$、線膨張係数を $\alpha =2.3\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$ とし、材料は等方的な線形弾性体で、応力・ひずみはブロック内で一様とする。また、側壁はブロックを押し返すことはできるが、引っぱることはない。

はじめの状態と比べたブロックの高さの変化量（伸びを正とする）は何 $\mu \mathrm{m}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。