流体力学・連続体の問題

密度 $\rho$、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、長さ $L$、断面積 $A$ の一様な細長い棒がある。この棒の上端を天井に固定し、鉛直につり下げたところ、棒は自身の重さだけによって静かに伸びた。重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒の各断面では鉛直方向の引張応力が断面内で一様に分布し、横方向（水平方向）の応力は $0$ とみなせるものとする。また、ひずみは十分小さく、応力は変形前の寸法で計算してよい（微小変形）。

つり下げたことによる棒の体積の変化 $\Delta V$ と、つり下げる前の体積 $V=AL$ の比 $\frac{\Delta V}{V}$ を、$\rho ,g,L,E,\nu$ を用いて表せ。

長さ $L$、一様な断面積 $A$ のまっすぐな棒が、上端を天井に固定されて鉛直につり下げられ、自身の重さだけで静止している。棒は密度 $\rho$、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできている。重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒の各断面には、その断面より下の部分の重さによる一様な鉛直方向の引張応力だけがはたらき、側面は自由（側面に垂直な方向の応力は 0）とする。ひずみは十分小さく、応力は変形前の断面積 $A$ と変形前の長さで計算してよく、ひずみの 2 次以上の項は無視する。

自重による棒全体の体積の増加量 $\Delta V$ を、変形前の体積 $V=AL$ で割った値 $\frac{\Delta V}{V}$ を、$\rho ,g,L,E,\nu$ を用いて表せ。

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた直方体がある。直方体の各辺を $x,y,z$ 軸に平行にとる。

直方体の $x$ 軸に垂直な 2 つの面を、互いに平行に固定された 2 枚の剛体の壁に接触させる。壁と直方体の間に摩擦はなく、壁は直方体の $x$ 方向の伸び縮みを完全に妨げる（$x$ 方向のひずみが $0$）。この状態で、$z$ 軸に垂直な 2 つの面に一様な圧縮応力 $p(>0)$ を加える。$y$ 軸に垂直な 2 つの面には何も力を加えない（自由表面）。直方体の内部の応力とひずみは一様で、変形は微小であり、重力は無視できるとする。

変形前の体積を $V$、変形による体積の変化を $\Delta V$ とするとき、体積ひずみ $\frac{\Delta V}{V}$ をひずみの 1 次の近似で $E,\nu ,p$ を用いて表せ（体積が増えるときを正とする）。

ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu (0<\nu <\frac{1}{2})$ の均質・等方な線形弾性体でできた、まっすぐな円柱形の棒がある。棒の中心軸を $x$ 軸とする。棒の両端面を、互いに平行な 2 枚の剛体の壁に、すき間なく接触させて置いた。壁は動かず、棒の両端面は壁に沿ってなめらかにすべることができる（端面には $x$ 方向の力だけがはたらく）。最初、棒には応力がない。

この状態で、棒の側面（円柱面）全体に、一様な圧力 $p(p>0)$ を加えた。端面には壁からの力だけがはたらく。棒の内部の応力とひずみは一様で、変形は微小であるとする。このときの棒の体積の減少率 $-\frac{\Delta V}{V}$ を、$p$, $E$, $\nu$ を用いて表せ（$V$ は変形前の体積、$\Delta V$ は体積の変化）。

鉛直に置かれた、断面積 $S$ の一様な円筒形の容器がある。容器の上部は大気に開いている。容器の底には面積 $a$ の小さな穴があいていて、水はそこから大気中へ流れ出る。時刻 $t=0$ に容器が空の状態から、上から一定の体積流量 $Q(>0)$ で水を注ぎ始めた。

水位（底から水面までの高さ）を $h$ とする。十分に時間がたつと、水位は一定の値 $h_{\infty }$ に近づく。水位が $\frac{h_{\infty }}{4}$ に達する時刻を、$S,Q,a,g$ を用いて表せ。

ただし、次のように仮定する。
- 水は非圧縮性で粘性を無視できる完全流体とし、重力加速度の大きさを $g$ とする。
- $a\ll S$ であり、水面の降下・上昇の速さは穴から流れ出る水の速さに比べて無視できる。
- 各時刻で流れは定常とみなせ（準定常近似）、水面と穴の出口の圧力はどちらも大気圧に等しい。
- 注がれる水が水面を乱す影響と、穴の出口での縮流は無視する。