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流体力学・連続体の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理流体力学・連続体

鉛直に置かれた、断面積 $S$ の一様な円筒形の容器がある。容器の上部は大気に開いている。容器の底には面積 $a$ の小さな穴があいていて、水はそこから大気中へ流れ出る。時刻 $t = 0$ に容器が空の状態から、上から一定の体積流量 $Q (> 0)$ で水を注ぎ始めた。

水位（底から水面までの高さ）を $h$ とする。十分に時間がたつと、水位は一定の値 $h_{\infty}$ に近づく。水位が $\frac{h _{\infty}}{4}$ に達する時刻を、 $S, Q, a, g$ を用いて表せ。

ただし、次のように仮定する。
- 水は非圧縮性で粘性を無視できる完全流体とし、重力加速度の大きさを $g$ とする。
- $a ≪ S$ であり、水面の降下・上昇の速さは穴から流れ出る水の速さに比べて無視できる。
- 各時刻で流れは定常とみなせ（準定常近似）、水面と穴の出口の圧力はどちらも大気圧に等しい。
- 注がれる水が水面を乱す影響と、穴の出口での縮流は無視する。

この問題で使うもの

小孔からの流出と排水時間（説明と入口の問題）
変数分離形（説明と入口の問題）
置換積分（説明と入口の問題）
分数関数の積分（部分分数分解）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（86 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

穴からの流出速度をベルヌーイの定理で水位 $h$ と結びつけ、容器内の水の体積の収支から $h$ についての微分方程式を立てよう。

ヒント 2

流出速度は $2 g h$ で、 $S \frac{d h}{d t} = Q - a 2 g h$ となる。 $h_{\infty}$ は $\frac{d h}{d t} = 0$ から求まる。積分には $u = h$ と置き換えるとよい。

ヒント 3

$k = a 2 g$ とすると $h_{\infty} = \frac{Q ^{2}}{k ^{2}}$ 、 $d t = \frac{2 S u}{Q - k u} d u$ となる。これを $u = 0$ から $u = \frac{Q}{2 k}$ まで積分する。

答えと解説

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\frac{S Q}{g a ^{2}} (lo g 2 - \frac{1}{2})

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解説を読む

1. 流出速度（トリチェリの定理）

水は非圧縮・非粘性の完全流体で、準定常近似により各時刻の流れを定常とみなせるので、水面から穴の出口までの流線に沿ってベルヌーイの定理が使える。水面と出口の圧力はともに大気圧 $p_{0}$ 、水面の速さは無視できるので、出口の速さを $v$ とすると
$p_{0} + ρ g h = p_{0} + \frac{1}{2} ρ v^{2} ⟹ v = 2 g h$
となる。縮流を無視するので、流出する体積流量は $a 2 g h$ である。

2. 水位の方程式（質量保存）

水は非圧縮なので、容器内の水の体積 $S h$ の増加率は、流入量から流出量を引いたものに等しい。
$S \frac{d h}{d t} = Q - a 2 g h$
十分時間がたつと $\frac{d h}{d t} \to 0$ なので
$a 2 g h_{\infty} = Q ⟹ h_{\infty} = \frac{Q ^{2}}{2 g a ^{2}}$

3. 変数変換して積分

$k = a 2 g$ とおき、 $u = h$ （ $h = u^{2}$ , $d h = 2 u d u$ ）とすると
$2 S u \frac{d u}{d t} = Q - k u ⟹ d t = \frac{2 S u}{Q - k u} d u$
$h = \frac{h _{\infty}}{4}$ のとき $u = \frac{h _{\infty}}{2} = \frac{Q}{2 k}$ である。被積分関数を
$\frac{u}{Q - k u} = - \frac{1}{k} + \frac{Q}{k} \cdot \frac{1}{Q - k u}$
と分けると、 $U = \frac{Q}{2 k}$ として
$\int_{0}^{U} \frac{u}{Q - k u} d u = - \frac{U}{k} - \frac{Q}{k ^{2}} lo g \frac{Q - k U}{Q} = - \frac{Q}{2 k ^{2}} - \frac{Q}{k ^{2}} lo g \frac{1}{2} = \frac{Q}{k ^{2}} (lo g 2 - \frac{1}{2})$
したがって求める時刻 $t_{1}$ は
$t_{1} = 2 S \cdot \frac{Q}{k ^{2}} (lo g 2 - \frac{1}{2}) = \frac{2 S Q}{2 g a ^{2}} (lo g 2 - \frac{1}{2}) = \frac{S Q}{g a ^{2}} (lo g 2 - \frac{1}{2})$

（ $lo g 2 - \frac{1}{2} \approx 0.193 > 0$ なので正の時刻になっている。）

別解

トリチェリの定理より、穴からの流出速さは $v = 2 g h$ である。水の体積の保存から $S \frac{d h}{d t} = Q - a 2 g h$ となる。

定常状態では $d h / d t = 0$ なので $h_{\infty} = \frac{Q ^{2}}{2 g a ^{2}}$ である。

$u = h$ 、 $k = a 2 g$ 、 $u_{\infty} = Q / k = h_{\infty}$ とおく。 $d h = 2 u d u$ より $2 S u \frac{d u}{d t} = k (u_{\infty} - u)$ となる。変数分離すると

$d t = \frac{2 S}{k} \frac{u}{u _{\infty} - u} d u = \frac{2 S}{k} (- 1 + \frac{u _{\infty}}{u _{\infty} - u}) d u$

である。 $t = 0$ で $u = 0$ として積分すると

$t = \frac{2 S}{k} [- u - u_{\infty} lo g (1 - \frac{u}{u _{\infty}})]$

となる。

$h = h_{\infty} /4$ のとき $u = u_{\infty} /2$ なので

$t = \frac{2 S u _{\infty}}{k} (lo g 2 - \frac{1}{2}) = \frac{2 S Q}{k ^{2}} (lo g 2 - \frac{1}{2})$

である。 $k^{2} = 2 g a^{2}$ を代入して

$t = \frac{S Q}{g a ^{2}} (lo g 2 - \frac{1}{2}) = \frac{S Q ( 2 lo g 2 - 1 )}{2 g a ^{2}}$

となる。

検算として、 $u / u_{\infty} = x$ とおくと $t = \frac{2 S Q}{k ^{2}} [- x - lo g (1 - x)]$ である。 $x = 1/2$ で $- 0.5 + 0.693 = 0.193 > 0$ となり、正の時間が得られる。また $x \to 0$ では $t \approx \frac{2 S Q}{k ^{2}} \frac{x ^{2}}{2}$ となる。これは $h \approx Qt / S$ すなわち $x^{2} = h / h_{\infty}$ の初期の挙動と整合する。

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