流体力学・連続体の問題

鉛直に置かれた、断面積 $S$ の一様な円筒形の容器がある。容器の上部は大気に開いている。容器の底には面積 $a$ の小さな穴があいていて、水はそこから大気中へ流れ出る。時刻 $t=0$ に容器が空の状態から、上から一定の体積流量 $Q(>0)$ で水を注ぎ始めた。

水位（底から水面までの高さ）を $h$ とする。十分に時間がたつと、水位は一定の値 $h_{\infty }$ に近づく。水位が $\frac{h_{\infty }}{4}$ に達する時刻を、$S,Q,a,g$ を用いて表せ。

ただし、次のように仮定する。
- 水は非圧縮性で粘性を無視できる完全流体とし、重力加速度の大きさを $g$ とする。
- $a\ll S$ であり、水面の降下・上昇の速さは穴から流れ出る水の速さに比べて無視できる。
- 各時刻で流れは定常とみなせ（準定常近似）、水面と穴の出口の圧力はどちらも大気圧に等しい。
- 注がれる水が水面を乱す影響と、穴の出口での縮流は無視する。

十分に広い容器に、密度 $\rho$ の水を入れ、その上に密度 $\frac{3}{4}\rho$ の油を厚さ $\frac{h}{3}$ の層になるよう静かに注いだ。油と水は混ざらず、油の上は大気である。

この容器に、密度 $\frac{1}{2}\rho$ の均質な固体でできた半径 $a$、高さ $h$ の直円柱を、中心軸を鉛直にして浮かべた。円柱は静止しており、その上面は油面より上に、底面は油と水の境界面より下にある。

この円柱を、中心軸が鉛直な姿勢から微小な角度だけ傾けたときを考える。$a>a_{\mathrm{c}}$ のときは元の姿勢に戻る向きの力のモーメントがはたらき（安定）、$a<a_{\mathrm{c}}$ のときは傾きを大きくする向きの力のモーメントがはたらく（不安定）。この臨界半径 $a_{\mathrm{c}}$ を $h$ を用いて表せ。

ただし、流体はすべて静止しているとみなす。大気の密度と大気圧の水平方向の変化は無視し、重力加速度の大きさを $g$ とする。容器は十分に広く、円柱が傾いても油面と境界面の高さは変わらないとする。

水平で十分に広い平らな床の上に、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体を、体積 $V$ だけ時刻 $t=0$ に 1 点のまわりに一度に置いた。流体は重力によって軸対称に広がり、十分に時間がたつと、厚さが広がりの半径に比べてずっと薄い層になる。重力加速度の大きさを $g$ とし、慣性・表面張力・周囲の空気の影響は無視する。

このとき、中心からの距離 $r$、時刻 $t$ における層の厚さ $h(r,t)$ は、潤滑近似により
$$\frac{\partial h}{\partial t}=\kappa \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{h}^3\frac{\partial h}{\partial r}\right),\kappa =\frac{\rho g}{3\mu }$$
にしたがい、体積は
$$2\pi {\int }_0^{R(t)}rh(r,t)dr=V$$
で一定に保たれる。ここで $R(t)$ は層の先端の半径である。十分に時間がたった後の $R(t)$ は、初期の置き方の詳細によらず $\kappa ,V,t$ だけで決まるものとする。

上の 2 式では、水平方向の長さ（$r,R$）と鉛直方向の長さ（$h$）がそれぞれ別々の組み合わせで現れるので、両者を互いに独立な次元として扱ってよい。このことを用いて次元解析を行い、$R(t)\propto t^n$ と表したときの指数 $n$ を求めよ。

鉛直な側壁をもつ断面積 $S$ の円筒形の容器の底の中心に、半径 $a$、長さ $L$ のまっすぐな細い円管（毛細管）が鉛直下向きに取り付けられている。容器と円管には、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が満たされている。円管の下端は大気に開いていて、流体はそこから流れ出る。容器の液面と円管の下端の出口での圧力は、どちらも大気圧 $p_0$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

容器の底（円管の上端）から測った液面の高さを $h$ とし、時刻 $t=0$ で $h=h_0(>0)$ であった。次を仮定する。
- 円管の中の流れは、各瞬間において管軸に平行な十分に発達した定常層流（ハーゲン・ポアズイユ流）とみなせる（準定常近似）。円管の入口・出口付近の流れの乱れ、流出する流体の運動エネルギー、出口での表面張力は無視する。
- $S\gg \pi a^2$ であり、容器内の流体の速度は十分に小さく、容器内の圧力は静水圧分布に従う。
- 考える時間の間、円管は常に流体で満たされている。

液面の高さが $h=\frac{h_0}{2}$ になる時刻 $t_1$ を、$S,a,L,\rho ,\mu ,g,h_0$ を用いて表せ。

貯水槽の鉛直な壁に、幅 $w$、高さ $H$ の長方形の水門がある。水門の上辺は水平で、水面から深さ $d(>0)$ の位置にあり、上辺に沿った水平な軸（ちょうつがい）のまわりに自由に回転できる。水門の反対側（外側）は大気に接している。水門の下辺の位置に、外側から水平に大きさ $F$ の力を加えて、水門が鉛直のまま閉じた状態を保っている。

水は密度 $\rho$ の静止した非圧縮性流体とし、水面は大気に接している。重力加速度の大きさを $g$ とする。水門の質量、ちょうつがいの摩擦、水門の厚さは無視し、水門の下辺には $F$ 以外の力（壁から受ける力など）ははたらかないとする。

$F$ を $\rho ,g,w,H,d$ を用いて表せ。