流体力学・連続体の問題

十分に広い容器に、密度 $\rho$ の水を入れ、その上に密度 $\frac{3}{4}\rho$ の油を厚さ $\frac{h}{3}$ の層になるよう静かに注いだ。油と水は混ざらず、油の上は大気である。

この容器に、密度 $\frac{1}{2}\rho$ の均質な固体でできた半径 $a$、高さ $h$ の直円柱を、中心軸を鉛直にして浮かべた。円柱は静止しており、その上面は油面より上に、底面は油と水の境界面より下にある。

この円柱を、中心軸が鉛直な姿勢から微小な角度だけ傾けたときを考える。$a>a_{\mathrm{c}}$ のときは元の姿勢に戻る向きの力のモーメントがはたらき（安定）、$a<a_{\mathrm{c}}$ のときは傾きを大きくする向きの力のモーメントがはたらく（不安定）。この臨界半径 $a_{\mathrm{c}}$ を $h$ を用いて表せ。

ただし、流体はすべて静止しているとみなす。大気の密度と大気圧の水平方向の変化は無視し、重力加速度の大きさを $g$ とする。容器は十分に広く、円柱が傾いても油面と境界面の高さは変わらないとする。

頂点を真下に向けて鉛直に置いた円錐形の容器（半頂角 $\alpha$、$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$）に水が入っている。容器の頂点には断面積 $a$ の小さな穴があり、時刻 $t=0$ にこの穴を開くと、水は穴から真下に流れ出る。$t=0$ での水面の高さ（穴から水面までの鉛直距離）は $H$ である。

水は非圧縮・非粘性の完全流体とし、穴から流れ出る水の断面積は $a$ に等しいとする（縮流は無視する）。水面と穴の出口にはともに同じ大気圧がはたらき、重力加速度の大きさを $g$ とする。$a$ は水面の面積に比べて十分小さく、水面が穴に近づいた最後の短い時間を除いて流れは各瞬間で定常流とみなせる（準定常近似）ものとし、水面の降下速度による運動エネルギーは穴から出る水の運動エネルギーに比べて無視する。

穴を開いてから容器が空になるまでの時間 $T$ を、$H,a,g,\alpha$ を用いて表せ。

半径 $b$ の長い円管の中心軸に沿って、半径 $a(0<a<b)$ の円柱が同軸に固定されている。円管と円柱の間の環状のすき間（$a<r<b$、$r$ は中心軸からの距離）を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、軸方向の一定の圧力勾配 $-\frac{dp}{dz}=G(>0)$ によって定常に流れている。

流れは軸方向の層流で、流速は $u(r)$（$z$ によらない）と表され、外力（重力など）は無視できる。円管の内壁 $r=b$ と円柱の表面 $r=a$ では、流体は滑りなし条件 $u(a)=u(b)=0$ を満たす。

すき間の中で流速 $u(r)$ が最大となる位置の半径 $r_{\mathrm{m}}$ を、$a,b$ を用いて表せ。

水面を一定の速さで進む船が受ける抵抗力の大きさ $F$ は、液体の密度 $\rho$、液体の動粘性率 $\nu$（単位 ${\mathrm{m}}^2/s$）、重力加速度の大きさ $g$、船の速さ $U$、船の長さ $L$ だけで決まるとする（船の形は相似なものだけを考える）。

実物の船（長さ $L_{\mathrm{p}}$）の $\frac{1}{16}$ の長さの相似な模型（長さ $L_{\mathrm{m}}=\frac{L_{\mathrm{p}}}{16}$）を作り、同じ重力加速度 $g$ のもとで水槽実験を行う。模型実験では、フルード数 $\frac{U}{\sqrt{gL}}$ とレイノルズ数 $\frac{UL}{\nu }$ の両方を実物と一致させるように、模型の速さと水槽の液体（動粘性率）を選んだ。水槽の液体の密度は、実物の船が進む水の密度の $\frac{4}{5}$ 倍である。

このとき、模型が受ける抵抗力 $F_{\mathrm{m}}$ と実物の船が受ける抵抗力 $F_{\mathrm{p}}$ の比 $\frac{F_{\mathrm{m}}}{F_{\mathrm{p}}}$ を、既約分数で求めよ。

水平面と角 $\theta (0<\theta <\frac{\pi }{2})$ をなす十分に広い平らな斜面の上を、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、一定の厚さ $h$ の薄い液膜となって斜面に沿って定常に流れ下っている。

斜面に沿って下向きに $x$ 軸、斜面に垂直に上向きに $y$ 軸をとり（斜面上で $y=0$、液膜の自由表面で $y=h$）、流れは $x$ 方向の層流で、流速 $u(y)$ は $y$ だけの関数であるとする。斜面上では滑りなし条件 $u(0)=0$ が成り立ち、自由表面では空気から受けるせん断応力は $0$（${\frac{du}{dy}|}_{y=h}=0$）、圧力は一様な大気圧であるとする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

液膜の、流れに垂直な単位幅あたりの体積流量 $q$ を、$\rho ,\mu ,g,h,\theta$ を用いて表せ。