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流体力学・連続体の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理流体力学・連続体

半径 $b$ の長い円管の中心軸に沿って、半径 $a (0 < a < b)$ の円柱が同軸に固定されている。円管と円柱の間の環状のすき間（ $a < r < b$ 、 $r$ は中心軸からの距離）を、粘性率 $μ$ の非圧縮性ニュートン流体が、軸方向の一定の圧力勾配 $- \frac{d p}{d z} = G (> 0)$ によって定常に流れている。

流れは軸方向の層流で、流速は $u (r)$ （ $z$ によらない）と表され、外力（重力など）は無視できる。円管の内壁 $r = b$ と円柱の表面 $r = a$ では、流体は滑りなし条件 $u (a) = u (b) = 0$ を満たす。

すき間の中で流速 $u (r)$ が最大となる位置の半径 $r_{m}$ を、 $a, b$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

平行平板間・環状すき間の圧力駆動流（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（67 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

円筒座標で、定常・軸方向一様な流れに対するナビエ・ストークス方程式の $z$ 成分を書き、圧力勾配と粘性力のつり合いの式にしよう。

ヒント 2

$\frac{1}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d u}{d r}) = - \frac{G}{μ}$ を積分すると $u = - \frac{G}{4 μ} r^{2} + C_{1} lo g r + C_{2}$ となる。 $r = 0$ が領域に含まれないので $lo g r$ の項は残る。

ヒント 3

2 つの境界条件から $C_{1} = \frac{G ( b ^{2} - a ^{2} )}{4 μ lo g ( b / a )}$ が得られる。 $\frac{d u}{d r} = - \frac{G}{2 μ} r + \frac{C _{1}}{r} = 0$ を解こう。

答えと解説

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\frac{b ^{2} - a ^{2}}{2 lo g \frac{b}{a}}

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解説を読む

運動方程式

流れは定常で、速度は軸方向成分 $u (r)$ のみであり $z$ によらないので、対流項 $(v \cdot \nabla) v$ は $0$ になる。外力も無視できるので、ナビエ・ストークス方程式の $z$ 成分は、圧力勾配と粘性力のつり合い
$0 = - \frac{d p}{d z} + μ \frac{1}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d u}{d r})$
となる。（あるいは、半径 $r$ 、長さ $Δ z$ の同軸円筒殻にはたらく圧力とせん断応力 $μ d u / d r$ のつり合いを考えても同じ式が得られる。） $- \frac{d p}{d z} = G$ より
$\frac{d}{d r} (r \frac{d u}{d r}) = - \frac{G}{μ} r$

一般解

1 回積分して
$r \frac{d u}{d r} = - \frac{G}{2 μ} r^{2} + C_{1} ⟹ \frac{d u}{d r} = - \frac{G}{2 μ} r + \frac{C _{1}}{r}$
さらに積分して
$u (r) = - \frac{G}{4 μ} r^{2} + C_{1} lo g r + C_{2}$
円管の場合と異なり、 $r = 0$ は流体領域に含まれないので $lo g r$ の項を捨てる理由はない。

境界条件

$u (b) = 0$ を使って $C_{2}$ を消去すると
$u (r) = \frac{G}{4 μ} (b^{2} - r^{2}) + C_{1} lo g \frac{r}{b}$
さらに $u (a) = 0$ より
$\frac{G}{4 μ} (b^{2} - a^{2}) + C_{1} lo g \frac{a}{b} = 0 ⟹ C_{1} = \frac{G ( b ^{2} - a ^{2} )}{4 μ lo g \frac{b}{a}}$
$b > a$ より $C_{1} > 0$ である。

最大の位置

$\frac{d u}{d r} = - \frac{G}{2 μ} r + \frac{C _{1}}{r} = 0 ⟹ r^{2} = \frac{2 μ C _{1}}{G} = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2 lo g \frac{b}{a}}$
$\frac{d u}{d r}$ は $r$ について単調減少（ $- \frac{G}{2 μ} r$ も $\frac{C _{1}}{r}$ も減少）なので、この点の前後で $\frac{d u}{d r}$ は正から負に変わり、 $u$ はここで最大となる。また $u (a) = u (b) = 0$ でその間に極値が 1 つだけあるので、この点は $a < r < b$ の中にある。

よって
$r_{m} = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2 lo g \frac{b}{a}}$

別解

軸方向の運動方程式（ナビエ・ストークス方程式）は、定常・軸方向流で $0 = - \frac{d p}{d z} + μ \frac{1}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d u}{d r})$ 。 $- d p / d z = G$ より $\frac{1}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d u}{d r}) = - \frac{G}{μ}$ 。
一般解は $u (r) = - \frac{G}{4 μ} r^{2} + A ln r + B$ 。
境界条件 $u (a) = u (b) = 0$ の差をとると $- \frac{G}{4 μ} (b^{2} - a^{2}) + A ln \frac{b}{a} = 0$ より $A = \frac{G ( b ^{2} - a ^{2} )}{4 μ ln ( b / a )}$ 。
最大の位置では $u^{'} (r) = - \frac{G}{2 μ} r + \frac{A}{r} = 0$ より $r^{2} = \frac{2 μ A}{G} = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2 ln ( b / a )}$ 。
よって $r_{m} = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2 ln ( b / a )}$ 。
妥当性の確認: $u^{''} = - \frac{G}{2 μ} - \frac{A}{r ^{2}} < 0$ なので極大。また $a < r_{m} < b$ であることは、 $ln (b / a)$ が $\frac{b - a}{b}$ と $\frac{b - a}{a}$ の間にある（ $\frac{b ^{2} - a ^{2}}{2 ln ( b / a )}$ は $a^{2}$ と $b^{2}$ の間にある）ことから従う。例えば $b = 2 a$ では $r_{m}^{2} = 3 a^{2} / (2 ln 2) \approx 2.164 a^{2}$ で $r_{m} \approx 1.47 a$ となり、 $a$ と $2 a$ の間にある。

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