ニュートンの粘性法則とクエット流

せん断応力 $τ = μ \frac{d u}{d y}$ を使い、平行平板の一方を動かしたときのクエット流の速度分布 $u = U \frac{y}{h}$ と板に必要な力、薄い油膜で支えられた板や回転円筒の粘性抵抗・トルクを求められる

前提

多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
力のモーメント（高校物理力と運動）

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算数中学高校大学大学院

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力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）

説明

流体の層どうしが互いにずれるように動くと、速い層は遅い層を引っ張り、遅い層は速い層を引き止めます。この内部摩擦の強さを表すのがニュートンの粘性法則 $τ = μ \frac{d u}{d y}$ （ $τ$ はせん断応力、 $μ$ は粘性係数）です。これを使うと、2 枚の平行な板の間に流体をはさみ一方の板を動かしたときの流れ（クエット流）の速度分布 $u = U \frac{y}{h}$ や、板を動かし続けるのに必要な力がわかります。軸受けの油膜で支えられた板の抵抗や、すき間に油を満たした回転円筒にかかる粘性トルクの計算に使います。

なぜそうしてよいのか

壁に平行な向き（ $x$ 方向）に流れる流体で、壁からの距離を $y$ 、その位置の流速を $u (y)$ とします。流体は接している壁と同じ速さで動き（滑りなし）、層ごとに速さが違うと、隣の層を流れの向きに引きずる力がはたらきます。面に平行にはたらく単位面積あたりの力をせん断応力 $τ$ といい、水や油などの多くの流体では、 $τ$ は速度の変わり方 $\frac{d u}{d y}$ に比例します： $τ = μ \frac{d u}{d y}$ 。比例定数 $μ$ [Pa·s] が粘性係数で、ねばりけの強さを表します。速度差が同じでも、すき間が薄いほど $\frac{d u}{d y}$ が大きく、力も大きくなります。

下の板（ $y = 0$ ）を止め、上の板（ $y = h$ ）を速さ $U$ で動かし続け、流れが一定の状態になったとします（圧力は流れの向きに一様とする）。板の間の流体から、 $y$ と $y + Δ y$ の間の薄い層を取り出すと、この層は加速していないので、上の面で受ける力と下の面で受ける力はつり合い、 $τ$ はどの高さでも同じ値です。したがって $\frac{d u}{d y} = \frac{τ}{μ}$ は定数で、これを積分すると $u = \frac{τ}{μ} y + C$ （ $C$ は積分定数）です。 $u (0) = 0$ より $C = 0$ 、 $u (h) = U$ より $\frac{τ}{μ} = \frac{U}{h}$ なので、
$u = U \frac{y}{h}, τ = μ \frac{U}{h}$
となります。速度は高さに比例する直線分布で、これがクエット流です。

上の板に流体が及ぼす力は面積 $A$ に $τ$ を掛けた $μ \frac{U}{h} A$ で、運動を妨げる向きです。板を一定の速さで動かし続けるには、これと同じ大きさの力を加えればよいことになります。半径 $R$ 、長さ $L$ の円筒が、厚さ $h$ （ $h ≪ R$ ）の油膜を隔てて角速度 $ω$ で回るときは、すき間を平板の間とみなして $U = R ω$ とおけば $τ = μ \frac{R ω}{h}$ 、側面の面積は $2 π R L$ で、力はすべて半径 $R$ の位置で円周の向きにはたらくので、トルク（力のモーメント）は $M = τ \cdot 2 π R L \cdot R$ です。

手順

すき間の厚さ $h$ 、動く面の速さ $U$ （回転なら $U = R ω$ ）、粘性係数 $μ$ を SI 単位（m, m/s, Pa·s）で書き出す
速度分布は直線 $u = U \frac{y}{h}$ なので、速度こう配は $\frac{d u}{d y} = \frac{U}{h}$
せん断応力を求める： $τ = μ \frac{U}{h}$
流体に接している面積 $A$ を掛けて粘性力を求める： $F = τ A$ （板を等速で動かすのに必要な力も同じ大きさ）
回転円筒なら、うでの長さ $R$ を掛けてトルク $M = F R = μ \frac{R ω}{h} \cdot 2 π R L \cdot R$ を求める

例題

面積 $A = 0.5 m^{2}$ の平らな板が、静止した広い平面の上に厚さ $h = 1.0 mm$ の油膜を隔てて平行に置かれている。この板を平面に平行に一定の速さ $U = 2.0 m/s$ で動かし続ける。油の粘性係数を $μ = 0.10 Pa \cdot s$ とし、油膜内の速度分布は直線（クエット流）とする。板の端の影響は無視する。板を動かし続けるのに必要な力の大きさ [N] を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $h = 1.0 mm = 1.0 \times 1 0^{- 3} m$ 、 $U = 2.0 m/s$ 、 $μ = 0.10 Pa \cdot s$ 。

【手順 2】速度こう配は $\frac{d u}{d y} = \frac{U}{h} = \frac{2.0}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 2.0 \times 1 0^{3} s^{- 1}$ 。

【手順 3】せん断応力は $τ = μ \frac{U}{h} = 0.10 \times 2.0 \times 1 0^{3} = 200 Pa$ 。

【手順 4】必要な力は $F = τ A = 200 \times 0.5 = 100 N$ 。

（手順 5 は回転ではないので使わない。）

答え: $100$

よくある誤り

すき間の厚さを mm のまま代入してしまう誤り。例題で $h = 1.0$ とすると $τ = 0.10 \times \frac{2.0}{1.0} = 0.2 Pa$ となり 1000 倍ずれる。正しくは $h = 1.0 \times 1 0^{- 3} m$ として $τ = 200 Pa$ 。
せん断応力を速さそのものに比例させて $τ = μU$ としてしまう誤り。粘性力は速度の変わり方に比例するので、正しくは $τ = μ \frac{d u}{d y} = μ \frac{U}{h}$ で、すき間が薄いほど大きい。
回転円筒で、速さに角速度 $ω$ をそのまま使う、またはトルクでうでの長さ $R$ を掛け忘れる誤り。正しくは $U = R ω$ として $τ = μ \frac{R ω}{h}$ 、トルクは $M = τ \cdot 2 π R L \cdot R = \frac{2 π μ ω R ^{3} L}{h}$ 。
板の上下両面に油膜があるのに片面分だけを計算してしまう誤り。両面が流体に接していれば、それぞれの面の $τ A$ （すき間が違えば $μ \frac{U}{h _{1}} A + μ \frac{U}{h _{2}} A$ ）を合計する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
水平に固定された大きな平板の上に、厚さ $h = 1.5 mm$ の油の層をはさんで、面積 $S = 0.20 m^{2}$ の薄い平板を置く。油は上の板の下面だけに接している。上の板を水平方向に一定の速さ $U = 0.50 m/s$ で動かし続ける。油の粘性係数を $μ = 0.30 Pa \cdot s$ とし、油はニュートン流体で、板に接する油は板と同じ速度で動く（すべりなし条件）とする。油の流れは定常で、圧力勾配はなく、油の速度分布は直線的（クエット流）であるとする。板の端の効果は無視し、上の板にはたらく水平方向の抵抗は油の粘性力だけとする（空気抵抗などは考えない）。
上の板を動かし続けるのに必要な水平方向の力の大きさは何 N か。整数で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ハーゲン・ポアズイユ流（大学物理流体力学・連続体）