流体力学・連続体の問題

水平面と角 $\theta (0<\theta <\frac{\pi }{2})$ をなす十分に広い平らな斜面の上を、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、一定の厚さ $h$ の薄い液膜となって斜面に沿って定常に流れ下っている。

斜面に沿って下向きに $x$ 軸、斜面に垂直に上向きに $y$ 軸をとり（斜面上で $y=0$、液膜の自由表面で $y=h$）、流れは $x$ 方向の層流で、流速 $u(y)$ は $y$ だけの関数であるとする。斜面上では滑りなし条件 $u(0)=0$ が成り立ち、自由表面では空気から受けるせん断応力は $0$（${\frac{du}{dy}|}_{y=h}=0$）、圧力は一様な大気圧であるとする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

液膜の、流れに垂直な単位幅あたりの体積流量 $q$ を、$\rho ,\mu ,g,h,\theta$ を用いて表せ。

半径 $a$、長さ $L$ のまっすぐな円管の中を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、管の両端の圧力差 $\Delta p(>0)$ によって定常に流れている。流れは管軸に平行な層流（ハーゲン・ポアズイユ流）で、管の入口・出口付近の影響と重力は無視でき、管壁では流速が $0$（滑りなし条件）とする。

管軸からの距離が $b(0<b<a)$ 以下の部分（管と同軸の半径 $b$ の円の内側）を通る体積流量が、管全体の体積流量のちょうど半分になるとき、$b$ を $a$ を用いて表せ。

間隔 $h$ で平行に固定された 2 枚の大きな平板の間を、粘性係数 $\mu$ の非圧縮性のニュートン流体が、流れの向き（$x$ 方向）に一定の圧力勾配 $\frac{dp}{dx}=-G$（$G>0$ は定数）によって定常な層流で流れている。下の板の面を $y=0$、上の板の面を $y=h$ とし、流速 $u$ は $y$ だけの関数で、運動方程式
$$\mu \frac{d^{2}u}{d{y}^2}=-G$$
を満たすとする。両方の板の上で流体は滑らないものとし、重力の影響と板の端の効果は無視する。

板の奥行き方向の単位幅あたりの体積流量 $q={\int }_0^{h}udy$ を、$G,h,\mu$ を用いて表せ。

半径 $b$ の長い円管の中心軸に沿って、半径 $a(0<a<b)$ の円柱が同軸に固定されている。円管と円柱の間の環状のすき間（$a<r<b$、$r$ は中心軸からの距離）を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、軸方向の一定の圧力勾配 $-\frac{dp}{dz}=G(>0)$ によって定常に流れている。

流れは軸方向の層流で、流速は $u(r)$（$z$ によらない）と表され、外力（重力など）は無視できる。円管の内壁 $r=b$ と円柱の表面 $r=a$ では、流体は滑りなし条件 $u(a)=u(b)=0$ を満たす。

すき間の中で流速 $u(r)$ が最大となる位置の半径 $r_{\mathrm{m}}$ を、$a,b$ を用いて表せ。

鉛直に置かれた、断面積 $S$ の一様な円筒形の容器がある。容器の上部は大気に開いている。容器の底には面積 $a$ の小さな穴があいていて、水はそこから大気中へ流れ出る。時刻 $t=0$ に容器が空の状態から、上から一定の体積流量 $Q(>0)$ で水を注ぎ始めた。

水位（底から水面までの高さ）を $h$ とする。十分に時間がたつと、水位は一定の値 $h_{\infty }$ に近づく。水位が $\frac{h_{\infty }}{4}$ に達する時刻を、$S,Q,a,g$ を用いて表せ。

ただし、次のように仮定する。
- 水は非圧縮性で粘性を無視できる完全流体とし、重力加速度の大きさを $g$ とする。
- $a\ll S$ であり、水面の降下・上昇の速さは穴から流れ出る水の速さに比べて無視できる。
- 各時刻で流れは定常とみなせ（準定常近似）、水面と穴の出口の圧力はどちらも大気圧に等しい。
- 注がれる水が水面を乱す影響と、穴の出口での縮流は無視する。