流体力学・連続体の問題

間隔 $h(h>0)$ で平行に置かれた 2 枚の無限に広い平板の間を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が満たしている。平板に平行に $x$ 軸、平板に垂直に $y$ 軸をとり、下の平板を $y=0$、上の平板を $y=h$ とする。下の平板は静止しており、上の平板は $x$ 軸の正の向きに一定の速さ $U(U>0)$ で動いている。

流れは $x$ 方向の定常な層流で、流速は $u(y)$ のように $y$ だけの関数であり、平板の表面では流体は平板と同じ速度をもつ（すべりなし条件）。流体中の圧力 $p$ は $x$ だけの関数で、圧力勾配 $\frac{dp}{dx}$ は一定である。重力の影響は無視する。

平板の間を流れる流体の、$z$ 方向（$x$, $y$ の両方に垂直な方向）の単位幅あたりの正味の体積流量が $0$ になるとき、圧力勾配 $\frac{dp}{dx}$ を $\mu$, $U$, $h$ を用いて表せ。

半径 $a$ の水平でまっすぐな円管の中を、粘性係数 $\mu$ の非圧縮性のニュートン流体が、管の長さ $L$ あたり一定の圧力差 $\Delta p$ によって定常な層流（ハーゲン・ポアズイユ流）で流れている。管の中心軸からの距離を $r$ とすると、流速の分布は
$$u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}\left(a^2-r^2\right)(0\le r\le a)$$
で与えられる。重力の影響はなく、管の入口・出口付近の効果は無視する。

管の断面のうち、中心軸から半径 $\frac{a}{2}$ の円の内側を通る体積流量は、管全体の体積流量の何倍か。既約分数で求めよ。

水平に固定された大きな平板の上に、厚さ $h=1.5\mathrm{mm}$ の油の層をはさんで、面積 $S=0.20{\mathrm{m}}^2$ の薄い平板を置く。油は上の板の下面だけに接している。上の板を水平方向に一定の速さ $U=0.50m/s$ で動かし続ける。油の粘性係数を $\mu =0.30\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$ とし、油はニュートン流体で、板に接する油は板と同じ速度で動く（すべりなし条件）とする。油の流れは定常で、圧力勾配はなく、油の速度分布は直線的（クエット流）であるとする。板の端の効果は無視し、上の板にはたらく水平方向の抵抗は油の粘性力だけとする（空気抵抗などは考えない）。

上の板を動かし続けるのに必要な水平方向の力の大きさは何 N か。整数で求めよ。

水平面と角 $\theta (0<\theta <\frac{\pi }{2})$ をなす十分に広い平らな斜面の上を、密度 $\rho$、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が、一定の厚さ $h$ の薄い液膜となって斜面に沿って定常に流れ下っている。

斜面に沿って下向きに $x$ 軸、斜面に垂直に上向きに $y$ 軸をとり（斜面上で $y=0$、液膜の自由表面で $y=h$）、流れは $x$ 方向の層流で、流速 $u(y)$ は $y$ だけの関数であるとする。斜面上では滑りなし条件 $u(0)=0$ が成り立ち、自由表面では空気から受けるせん断応力は $0$（${\frac{du}{dy}|}_{y=h}=0$）、圧力は一様な大気圧であるとする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

液膜の、流れに垂直な単位幅あたりの体積流量 $q$ を、$\rho ,\mu ,g,h,\theta$ を用いて表せ。

十分に長いまっすぐな円管（半径 $a$）の中を、粘性率 $\mu$ の非圧縮性ニュートン流体が定常な層流として流れている。管の単位長さあたりの圧力降下を $G$（単位 $Pa/m$）とする。単位時間に管の断面を通過する流体の体積（体積流量）$Q$ は $G,\mu ,a$ だけで決まり、
$$Q=C{G}^{\alpha }{\mu }^{\beta }{a}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数で、管や流体によらない。

いま、ある管と流体の組（状態 A）で流量が $Q_{\mathrm{A}}$ であった。管の半径を $\frac{3}{2}$ 倍にし、流体を粘性率が $3$ 倍の別の流体に取り替え、単位長さあたりの圧力降下 $G$ は同じに保った（状態 B）。状態 B の流量を $Q_{\mathrm{B}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\mathrm{B}}}{Q_{\mathrm{A}}}$ を既約分数で求めよ。